СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДЛЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

Основные определения

Линейное пространство – множество элементов, где введены 2 операции:

1) Каждым двум элементам  поставлен в соответствие элемент , их сумма.

2) Каждому элементу  и каждому числу (скаляру)  поставлен в соответствие элемент  — произведение элемента  на скаляр .

Евклидово пространство - вещественное линейное пространство, где каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением.

Унитарное пространство – комплексное линейное пространство, где каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением.

Нормированное линейное пространство - линейное пространство Е, где каждому поставлено в соответствие неотрицательное число ||x|| (норма х) и выполнены три аксиомы:

1)                       ||x| = 0 только когда х = 0;

2)                       |||| = || • ||x||;

3)                      

Линейные пространства

Определение. Множество Е элементов x, у, z, ... называется линейным пространством, если в нем определены две операции.

1)                    Каждым двум элементам  поставлен в соответствие элемент , их сумма.

2)                    Каждому элементу  и каждому числу (скаляру)  поставлен в соответствие элемент  — произведение элемента  на скаляр  — так, что выполнены следующие свойства (аксиомы) для любых  и любых скаляров

1) х + у = у + х;

2) х + (у + z) = (х + у) + z;

3) существует элемент  такой, что x + 0 = x;

4) ;

5)  (слева 0 — скаляр, а справа элемент множества Е);

6);

7)

В качестве числовых множителей (скаляров) , ... в линейном пространстве берутся вещественные или комплексные числа. В первом случае Е называется вещественным линейным пространством, во втором — комплексным. Во всяком линейном пространстве Е для всякого элемента  можно определить противоположный элемент —значит, и операцию вычитания элементов . Положим по определению —x = (—1)x. Тогда, согласно аксиомам 5) и 7),

Под разностью  понимаем выражение

Некоторые простые следствия, вытекающие из определения линейного пространства.

Пример 1. Множество векторов образует линейное пространство. Таким образом, элементы линейного пространства естественно рассматривать как обобщение векторов. Вместо термина «линейное пространство» употребляется также термин «векторное пространство». В дальнейшем, говоря об элементах линейного пространства, мы будем называть их также векторами.

Пример 2. Рассмотрим множество всех многочленов степени, не превышающей

Получаем линейное пространство многочленов.

Можно рассмотреть точно так же комплексное линейное пространство многочленов степени не выше k. Его элементы x(t) имеют вид

Пример 3. Пространство С [a,b] — пространство непрерывных функций. Пусть D = [a,b]. Берем всевозможные непрерывные на [a,b] функции x(y), y(t). Так как x(t) + y(t) непрерывна на [a,b], как сумма непрерывных функций, и  тоже непрерывна, то С [а,b] является линейным пространством. Возможны вещественный и комплексный случаи.

Пример 4. Пространство С^к[a,b] (k — натуральное число) — пространство к раз непрерывно дифференцируемых функций. Поскольку , если x(t), и , если , то  — линейное пространство.

Линейная зависимость и линейная независимость элементов

Е — линейное пространство. Пусть даны элементы .

Всякая сумма вида называется линейной комбинацией элементов

Элементы  называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация =0, где  не равны 0

 (т.е. > 0) - Если равенство =0 возможно только при

условии , то элементы  называются линейно независимыми.

Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства

m-мерным пространством называется пространство, если в нем существует m линейно независимых векторов, а всякие m+1 векторов линейно зависимы.

Определение 1. Набор m линейно независимых векторов в m-мерном линейном пространстве Е называется базисом в Е.

Фиксируем в m-мерном линейном пространстве Е базис

Пусть \ вследствие m-мерности Е векторы, х линейно зависимы. Но тогда найдутся скаляры  , такие, что

При этом, иначе векторы  были бы линейно зависимы. Следовательно,

,                                                (1)

где

Разложением вектора х по базису называется представление (1) произвольного вектора m-мерного пространства Е. Числа- координаты и вектора х в базисе .

Определение 2. Линейное пространство Е называется бесконечномерным, если для каждого натурального п в Е существует п линейно независимых элементов.

Изоморфизм линейных пространств

Проанализируем линейные пространства X и ; каждому элементу  поставлен определенный элемент , задана функция. Пространства X и  линейноизоморфны, если найдется функция ,осуществляющая линейное и взаимно однозначное соответствие между X и :

1)                      

2)                       если J() = J() ,то;

3)                       для любого  найдется такой, что  = J(x).

Примеры изоморфных линейных пространств.

Пример 1. Пространство многочленов с коэффициентами степени не выше т изоморфно R^m+1. x(t) = . Функция J отображает каждый  многочлен в столбец ,  

Пример 2. Всякое m-мерное вещественное линейное пространство Е изоморфно R^m.

Фиксируя в Е базис  , всякий  представлен в виде  (см. формулу (1) и. 1.4). Для всякого  

Если , то справедливо свойство линейности координат: координаты линейной комбинации векторов равны линейной комбинации координат этих векторов. Следовательно,

 .

Взаимная однозначность J - следствие единственности координат вектора (при фиксированном базисе). Е изоморфно R^m.

Определение нормированного пространства

Определение 1. Линейное пространство Е называется нормированным пространством, если каждому поставлено в соответствие неотрицательное число ||x|| (норма х) и выполнены три аксиомы:

4)                       ||x| = 0 только когда х = 0;

5)                       |||| = || • ||x||;

6)                      

Норма — это определенная всюду на Е функция с неотрицательными значениями и со свойствами 1)-3). Аксиома 1) называется условием невырожденности нормы, аксиома 2) — условием однородности нормы, а аксиома 3) — неравенством треугольника. В случае векторов аксиома 3) означает, что длина стороны в треугольнике не превышает суммы длин двух других его сторон. Отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна разности длин двух других его сторон. Неравенство для нормы имеет вид         (1)

Определение 2. Множество X называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие вещественное число р(х,у), удовлетворяющее аксиомам . Метрические пространства можно считать обобщениями нормированных пространств.

Рассмотрим в нормированном пространстве Е множество — фиксированная точка, а r> 0. Множество  называется открытым шаром с центром в точке , радиуса r. Аналогично, множество

называется замкнутым шаром (с центром в  радиуса г). Множество

называется сферой. Очевидно, .

Пример 1. В вещественном линейном пространстве m-мерных столбцов R^m введем норму

Аксиомы нормы 1) и 2) выполняются тривиально. Неравенство треугольника (аксиома 3) будет доказано позже.

Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается Е^m.

Пр и м е р 2. Пространство с^m. Введем в R^m норму

Проверка аксиом нормы.

1)                       — это очевидно. Пусть ||x|| = 0, т. е.; но тогда все .

2)                        , отсюда вытекает однородность нормы.

3)                      

. Переходя в этом неравенстве слева к mах по i, получим неравенство треугольника.

Пространства со скалярным произведением

Вводятся важные понятия скалярного произведения векторов при изучении аналитической геометрии и линейной алгебры, элементов линейного пространства. Эти понятия дают возможность развить вопросы евклидовой трехмерной и п-мерной геометрии. Главное место занимает здесь понятие ортогональности, отсутствующее, между прочим, в нормированном пространстве. Это понятие позволяет ввести в рассмотрение ортогональные системы элементов — прямое обобщение понятия ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

Евклидовы пространства

Определение. Евклидовым называется вещественное линейное пространство, если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением, так что выполнены следующие аксиомы:

1) (x, x), при этом (x, x) = 0, только когда x = 0;

2) (х, у) = (у, х);

3) (, у) = (x, у),

4) (х + у, z) = (х, z) + (у, z).

Понятие скалярного произведения естественным образом обобщает понятие скалярного произведения векторов. Всякое евклидово пространство можно превратить в нормированное пространство, определив в нем норму по формуле                                                                          (1)

Унитарные пространства

Определение. Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие комплексное число (x, у) — скалярное произведение х на у — и если при этом выполняются следующие аксиомы:

1)                       (x, x), при этом (x, x) = 0, только когда x = 0;

2)                       (x, у) = (черта означает комплексное сопряжение);

3)                       (, у) = (x, у);

4)                       (х + у, z) = (x, z) + (у, z).

Приведем два элементарных следствия, опирающиеся на аксиомы 1)-4) и свойства комплексных чисел.

Следствие I. В унитарном пространстве

).

Действительно,

Ортогональность элементов

Ортогональные и ортонормированные системы. Пусть Е — пространство со скалярным произведением. Если (x, у) = 0, то элементы x и у будем называть ортогональными и писать x  у. Очевидно, нуль пространства Е ортогонален любому элементу. Рассмотрим в Е элементы , все не равные 0. Если () = 0 при любых k,l = 1, ... , т (kl) то система элементов  называется ортогональной системой.

Примеры пространств со скалярным произведением

Пример 1. Евклидово пространство Е^т. Введем в вещественном линейном пространстве Е^т скалярное произведение по формуле

Пример 3. Пространство ₂[а, b].

В линейном пространстве комплекснозначных, непрерывных на [а, Ь] функций скалярное произведение зададим так:

Пространство кусочно-непрерывных функций Q[a, b].

 Рассмотрим линейное пространство комплекснозначных функций, непрерывных на [а, b], за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода (для каждой функции могут быть свои точки разрыва). Введем скалярное произведение обычным способом:

Трудности возникают с аксиомой 1). Если функция x(t) = 0, за исключением конечного числа точек, то (x, x) =0, хотя. Для того чтобы выйти из этого противоречия и удовлетворить аксиоме 1), условимся считать две функции равными, если они отличаются друг от друга не более чем в конечном числе точек. Полученное пространство со скалярным произведением обозначается Q[a, b]. Его элементами являются не отдельные функции, а классы функций. Две функции попадают в один класс, если они равны на [а, b], за исключением конечного числа точек.

Два свойства скалярного произведения

1. Непрерывность скалярного произведения.

Пусть,

Доказательство..По неравенству Коши-Буняковского имеем

так как {||||} ограничена.

2. Равенство параллелограмма. Во всяком пространстве со скалярным произведением справедливо следующее равенство, которое можно трактовать как известное в геометрии (сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон):

Действительно,

Равенство параллелограмма в нормированных пространствах не имеет места.

Cкалярное произведение для трех векторов

Перед тем как перейти к скалярному произведению введем новую операцию над двумя векторами. В результате этой операции мы получим вектор, модуль и угол которого равен сумме модулей исходных векторов. Обозначим ее как .

Пусть даны два вектора с координатами , .

Найдем проекцию на ось X результирующего вектора:

где - углы между осью X и векторами  соответственно.

=-+-=

Найдем проекцию на ось Y:

+++=;

В результате чего получаем вектор :

(;.

Таким образом мы получили новую операцию .

Используя операцию, описанную в первом пункте, введем скалярное произведение для трех векторов.

+;

Геометрический смысл данного произведения:

=*

Аксиомы:

1)

2)

3)=

4)

Как видим, наше скалярное произведение напоминает стандартное скалярное произведение с модифицированными аксиомами.

Список литературы

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976.

2. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980.