Телефон: +7 (383)-202-16-86

Статья опубликована в рамках: XIII Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов XXI столетия. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ» (Россия, г. Новосибирск, 31 октября 2013 г.)

Наука: Математика

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции

Библиографическое описание:
Жгилев Д.Ю. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ // Научное сообщество студентов XXI столетия. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ: сб. ст. по мат. XIII междунар. студ. науч.-практ. конф. № 13. URL: http://sibac.info/archive/technic/13.pdf (дата обращения: 25.08.2019)
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов


ОПЕРАЦИОННЫЙ  МЕТОД  РЕШЕНИЯ  ЛИНЕЙНЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  УРАВНЕНИЙ  И  ИХ  СИСТЕМ


Жгилев  Данил  Юрьевич


студент  2  курса,  факультет  электроэнергетики  и  электротехники  ДВФУ,  г.  Владивосток


E-maildanil-gw@mail.ru


Дмух  Галина  Юрьевна


научный  руководитель,  канд.  пед.  наук,  доцент  кафедры  алгебры,  геометрии  и  анализа,  ДВФУ,  г.  Владивосток


 


Операционный  метод  приобрел  большое  значение  при  решении  линейных  дифференциальных  уравнений  с  постоянными  коэффициентами.  Эффективность  применения  операционного  исчисления  при  решении  линейных  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  состоит  в  удобстве  и  простоте  вычислений.  Прежде  всего  это  относится  к  решению  систем  таких  уравнений  [4,  с.  131].


Рассмотрим  обыкновенное  дифференциальное  уравнение  n-го  порядка  с  постоянными  коэффициентами


 


  (1)


 


где  коэффициенты  -постоянные  величины,  при  начальных  условиях 


 


x(0)=  ,  (0)  ,  ...  ,  (0)=  (2)


 


где  —  заданные  числа  [3,  с.  126].


Операционный  метод  решения  состоит  в  том,  что  мы  считаем  как  искомую  функцию  x(t),  так  и  правую  часть  f(tоригиналами  и  переходим  от  уравнения  (1)  ,  связывающего  оригиналы,  к  уравнению,  связывающему  их  изображения  X(pи  F(p),  тогда  x(t)X(p),  а  f(t)F(p).  Воспользуемся  теоремой  о  дифференцировании  оригинала:


 



,


.......


,



 


Применяя  свойство  линейности  получаем  вместо  уравнения  (1)  алгебраическое  соотношение,  которое  назовем  изображением,  или  операторным  уравнением:


 


++...+()+  [2,  с.  127—128]


 


В  результате  мы  получили  уже  не  дифференциальное,  а  алгебраическое  уравнение  относительно  неизвестного  изображения  X(p)


 



 


где    ,


 



 


-алгебраические  многочлены  от  p  степени  n  и  n-1  соответственно  [1,  с.  264].


Из  последнего  уравнения  находим


 


  (3)


 


Полученное  равенство  называют  операторным  решением  дифференциального  уравнения  (1).  Остается  по  полученному  изображению  X(pнайти  оригинал  x(t,  применяя  для  этого  соответствующие  правила  операционного  исчисления.  Найденный  оригинал  x(tбудет  являться  частным  решением  дифференциального  уравнения  (1)  [3,  с.  128].


Пример:  найдем  решение  дифференциального  уравнения  операционным  методом    при  условиях 


Решение: 


пусть  x(t)X(p)=X.  Тогда 


 



=



 


Подставим  эти  выражения  в  дифференциальное  уравнение,  получим  операторное  уравнение:    .  Отсюда  X(p)=


Для  нахождения  оригинала  разложим  дробь  на  простейшие


 



A(p+1)+B(p-3)(p+1)+C=1


Ap+A+B-2Bp-3B+C-6Cp+9С=1


 


Составим  систему  уравнений:


 



 


Решив  ее,  получаем


 



 


Итак  X(p)=  ,  откуда 


x(t)=—  решение  данного  дифференциального  уравнения.


Системы  линейных  дифференциальных  уравнений  с  постоянными  коэффициентами  можно  решать  операционными  методами  совершенно  так  же,  как  и  отдельные  уравнения;  все  отличие  заключается  лишь  в  том,  что  вместо  одного  изображающего  уравнения  приходим  к  системе  таких  уравнений,  причем  система  эта  в  отношении  изображений  искомых  функций  будет  линейно  алгебраической.  При  этом  никаких  предварительных  преобразований  исходной  системы  дифференциальных  уравнений  производить  не  требуется  [3,  с.  134].


Метод  решения  таких  систем  покажем  на  примере.


Пример:  решить  систему  дифференциальных  уравнений


 



 


при  начальных  условиях  x(0)=2  ,  y(0)=0.


Решение: 


пусть  x(t)X(p)=Xy(t)Y(p)=Y.  Тогда


 


 


Подставим  эти  выражения  в  систему  дифференциальных  уравнений,  система  операторных  уравнений  принимает  вид:


 



 


Решая  эту  систему  уже  алгебраических  уравнений  ,  находим:


 


X(p)=  ,


Y(p)=


 


Раскладывая  найденные  изображения  на  простые  дроби  находим:


 


X(p)=  ,


Y(p)=  .


 


Переходя  от  изображений  к  оригиналам,  получаем  искомые  решения:


 


x(t)=


y(t)=.


 


Таким  образом  операционный  метод  позволяет  в  ряде  случаев  значительно  упростить  процедуру  нахождения  решения  линейных  дифференциальных  уравнений  и  их  систем.


 


Список  литературы:


1.Араманович  И.Г.,  Лунц  Г.Л.,  Эльсгольц  Л.Э.  Функции  комплексного  переменного.  Операционное  исчисление.  Теория  устойчивости.  -М.,  Главная  редакция  физико-математической  литературы,  1968  г.,  —  стр.  416.  —  Избранные  главы  высшей  математики  для  инженеров  и  студентов  втузов.  —  263—268  с.


2.Диткин  В.А.,  Прудников  А.П.  Интегральные  преобразования  и  операционное  исчисление.  М.:  Физматгиз,  1961.  —  127—132  с.


3.Шостак  Р.Я.  Операционное  исчисление.  Краткий  курс.  Изд.  второе,  доп.Учебное  пособие  для  вузов  М.  «Высшая  школа»,  1972  —  126—139  с.


4.Штокало  И.3.  Операционное  исчисление  (обобщения  и  приложения)  Киев,  Издательство  «Наукова  Думка»,  1972  —131—144  с.

Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Оставить комментарий