ИДЕНТИФИКАЦИЯ  КОЭФФИЦИЕНТА  КАПИТАЛОЕМКОСТИ  В  ДИНАМИЧЕСКОЙ  МОДЕЛИ

Тудупова  Вера  Сергеевна

магистрант  2  курса,  институт  математики  и  информатики  БГУ,  г.  Улан-Удэ

E-mail:  RipUver@yandex.ru

Очирова  Наталья  Валерьевна

аспирант,  ВСГУТУ,  г.  Улан-Удэ

E-mail: 

Мижидон  Арсалан  Дугарович

научный  руководитель,  док.  тех.  наук,  проф.  ВСГУТУ,  г.  Улан-Удэ

С  течение  времени  динамичность  жизни  возрастает.  Современный  человек  не  успевает  отслеживать  все  изменения  вокруг.  Поэтому  очень  важно  научиться  прогнозировать  и  планировать. 

В  этом  плане  возникает  интерес  к  исследованиям  динамических  моделей.  Обратимся  в  частности  к  динамической  модели  экономики  —  модели  межотраслевого  баланса.

Межотраслевой  баланс  является  экономико-математической  моделью.  Эта  модель  отражает  баланс  между  объемом  производства  продукции  и  затратами  на  ее  производство.  Запишем  статическую  модель  межотраслевого  баланса  В.  Леонтьева: 

,

где:    —  объем  производства  какой-либо  отрасли;

  —  конечный  продукт  данной  отрасли;

  —  матрица  технологических  коэффициентов  прямых  материальных  затрат  ,  т.  е.  объем  -й  отрасли  для  создания  единицы  продукции  -й  отрасли.

В  процессе  развития  статической  модели  был  создан  динамический  вариант  системы,  учитывавший:  техническое  развитие,  модернизацию  промышленности,  изменения  ценовых  соотношений.

Главное  отличие  динамической  модели  от  статистической  это  зависимость  динамической  модели  от  времени.  Таким  образом,  в  динамической  модели  экономика  отражается  в  развитии,  связывая  предыдущие  и  последующие  этапы  развития.  А  в  статистической  модели  экономика  описывается  в  определенный  момент.  В  этих  моделях  учитываются  инвестиции  в  производственный  капитал,  его  рост  за  счет  капиталовложений  и  увеличение  выпуска  продукции.  За  счет  этого  анализ  на  основе  экономико-математической  модели  приближается  к  реальным  условиям  развития  экономической  системы.

В  рассматриваемой  динамической  модели  производственные  капитальные  вложения  выделяются  из  состава  конечной  продукции,  исследуется  их  структура  и  влияние  на  рост  объёма  производства.  В  основе  построения  модели  в  виде  динамической  системы  уравнений  лежит  математическая  зависимость  между  величиной  капитальных  вложений  и  приростом  продукции.  Решение  системы,  как  и  в  случае  статической  модели,  приводит  к  определению  уровней  производства,  но  в  динамическом  варианте  в  отличие  от  статистического  эти  искомые  уровни  зависят  от  объёмов  производства  в  предшествующих  периодах.

При  исследовании  экономических  проблем  часто  обращаются  к  системам  дифференциальных  уравнений.  Модель  Леонтьева  не  является  исключением.  Эта  модель,  включающая  дополнительно  матрицу  коэффициентов  капиталоемкости  ,  определяет  траектории  сбалансированного  экономического  развития.  Качественные  свойства  этих  траекторий  зависят  от  матрицы  .  При  определенных  условиях  величина,  обратная  наибольшему  собственному  значению  матрицы,  определяет  максимально  возможный  темп  прироста  экономики,  а  соответствующий  этому  значению  собственный  вектор  характеризует  необходимые  пропорции  между  объемами  производства  продукции  на  «магистральном»  участке  экономического  развития. 

Динамическая  модель  В.  Леонтьева  выражается  системой  дифференциальных  уравнений  [1,  с.  448]

Здесь    —  вектор-столбец  национального  дохода,    —  вектор-столбец  потребления,    —  матрица  коэффициентов  полной  приростной  капиталоемкости,  т.  е.  полных  затрат  производственного  накопления  на  единичные  приросты  элементов  используемого  национального  дохода. 

Система  уравнений  (1)  является  матричным  аналогом  дифференциального  уравнения

.

Заметим,  что  матрица    и  матрица  прямых  материальных  затрат    связаны  уравнением: 

где:  —  матрица  коэффициентов  прямых  материальных  затрат  (в  отличие  от  коэффициентов  статического  межотраслевого  баланса,  коэффициенты  динамической  модели  включают  также  затраты  на  возмещение  основных  производственных  фондов); 

  —  матрица  коэффициентов  капиталоемкости  приростов  производства  (затраты  производственного  накопления  на  единицу  прироста  соответствующих  видов  продукции); 

  —  матрица  коэффициентов  полных  потребностей  в  выпуске  продукции  для  получения  единиц  соответствующих  видов  конечной  продукции.

Использование  метода  межотраслевого  баланса  позволяет  изучить  взаимозависимость  между  различными  отраслями  экономики,  проявляющуюся  во  взаимовлиянии  цен,  объемов  производства,  капиталовложений  и  доходов.

Таким  образом,  на  основе  моделей  Леонтьева  может  быть  разработан  комплекс  моделей  функционирования  экономики  с  целью  определения  рациональных  стратегий  управления  социально-экономическим  развитием  региона  и  страны  в  целом.

В  качестве  объекта  исследования  взята  экономика  республики  Бурятия.  Видоизменим  динамическую  модель  (1)  следующим  образом

Для  упрощения  записи,  сделаем  замену:

Получим:

Задача  идентификации  формулируется  следующим  образом.  В  ходе  сбора  статистических  данных  [2],  были  получены  переменные    и    как  функции  времени.  Требуется  определить  вид  матрицы  коэффициентов  полной  приростной  капиталоемкости  ,  ставящий  в  соответствие  переменные    и  . 

Данная  задача  разбивается  на  два  типа:

1.  Замкнутые  модели

2.  Открытые  модели

Замкнутые  модели  отражают  экономику  при  нулевом  значении  непроизводственного  потребления  .  В  этом  случае  весь  произведенный  продукт  используется  в  качестве  инвестиций.  Происходит  максимальное  наращивание  производственного  капитала  и  выпуска  продукции.

Открытые  модели  отражают  экономику  при  разных  траекториях  непроизводственного  потребления  .  Основной  интерес  представляют  случаи  предельно  возможных  процессов  непроизводственного  потребления.

Исследование  замкнутых  и  открытых  моделей  дает  возможность  выявить  весь  диапазон  разнообразных  процессов  .

Замкнутая  динамическая  модель  валового  продукта  является  частным  случаем,  когда  .

Постановка  задачи  для  замкнутой  модели:

Искомое  решение  представим  в  виде  ряда  Тейлора  по  степеням 

Продифференцируем  (2)  по 

Подставим  (4)  в  (3)  получим

Или

Замкнутая  модель  имеет  решение  [3]:

Но  нам  необходимо  идентифицировать  матрицу  коэффициентов  полной  приростной  капиталоемкости    для  этого  из  системы  уравнений  (4)  выделим  уравнение  в  матричном  виде

Разрешим  относительно  матрицы 

Т.  к.  ,  то 

Решение  задачи  идентификации:

Отрытая  динамическая  модель  валового  продукта  является  общим  случаем,  когда  .

Постановка  задачи  для  открытой  модели:

Предположим,  что  const,  тогда

Отсюда  видно,  что  решение  задача  для  открытой  модели  примет  вид

Идея  работы  заключается  в  исследование  равновесия  в  экономической  системе.  В  этом  случае,  переходя  к  экономической  динамике,  используют  понятие  «равновесная  траектория»  (т.  е.  уравновешенный,  сбалансированный  экономический  рост),  которая  представляет  собой  результат  взаимодействия  множества  ячеек  экономической  системы.  Идентификация  матрицы  коэффициентов  полной  приростной  капиталоемкости  дает  картину  объема  капиталовложений.  На  основании  полученной  картины,  можно  судить  о  том  какая  именно  отрасль  нуждается  в  капиталовложениях.

Список  литературы:

1.Ахтямов  А.М.  Математика  для  социологов  и  экономистов:  Учеб.  пособие.  —  М.:  ФИЗМАТЛИТ,  2004.  —  464  с. 

2.Бурятия.  Статистический  ежегодник  №  01.2006-2012.  Улан-Удэ.

3.Квакернаак  Х.,  Сиван  Р.  Линейные  оптимальные  системы  управления.  —  М.:  Мир,  1977.  —  650  с.

4.Лопатников  Л.И.  Экономико-математический  словарь:  Словарь  современной  экономической  науки.  —  5-е  изд.,  перераб.  и  доп.  —  М.:  Дело,  2003.  —  520  с.