СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА. ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

В окружающей нас реальной действительности мы наблюдаем как отдельные предметы (дерево, пылинка, автомобиль, книга), так и их совокупности или множества (совокупность или множество деревьев в лесу, множество книг в библиотеке, автомагистраль). Наряду с множествами предметов, взятых непосредственно из окружающего реальной действительности, можно легко представить себе множества более абстрактного содержания, как например, множество определенным образом подобранных чисел, множество некоторых векторов, множество функций определенного вида и т.п. При образовании этих последних множеств использованы абстрактные математические понятия, созданные в процессе изучения пространственных форм и количественных отношений окружающей реальной действительности. Понятие множества нельзя определить через другие, более простые понятия. Оно является в этом смысле одним из первичных понятий науки.

Класс счётных множеств шире, чем могло показаться на первый взгляд. Очень простым, но в то же время довольно поучительным примером счётного множества является множество целых чисел. Изначально оно «занумеровано», но некоторым особым образом: нумерация идёт в две стороны. Но, тем не менее, элементы этого множества можно занумеровать. Грубо говоря, счётное множество — это множество, элементы которого можно занумеровать. [7,5]

Задача 1.: Доказать, что множество действительных чисел X, удовлетворяющих неравенством , несчетно.

Доказательство: Допустим, например, что множество точек сегмента  есть счетное множество. Тогда все принадлежащие ему точки (числа) можно расположить в виде последовательности .

Разделим сегмент  на три равные части: . Выберем из  них ту часть, к которой не принадлежит точка . Ясно, что хотя бы одна такая часть из трех найдется. Обозначим ее . Разделим сегмент  вновь на три части и обозначим через  ту часть, которая не содержит . Продлим этот процесс неограниченно. В результате получим бесконечную последовательность  вложенных друг в друга сегментов: , которые обладают тем свойством, что сегмент  не содержит точку  при любом n. Так как длина сегмента есть  и стремится к нулю по мере возрастания n по теореме кантора существует точка (число), принадлежащая всем сегментам . Обозначим эту точку через . Эта точка принадлежит сегменту . Но, с другой стороны, она не входит в последовательность , так как если бы она принадлежала этой последовательности, то она по построению не входила бы хотя бы в один из сегментов . Противоречие доказывает задачу. [1,4]

Задача 2.: Показать, что множество натуральных чисел эквивалентно множеству четных положительных чисел.

Решение: Для решения данной задачи, установим взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством четных положительных чисел следующим образом:

Иначе: каждому элементу  поставим в соответствие элемент  множества четных положительных чисел.

Так как множество положительных чисел является подмножество множества натуральных чисел, то этот пример показывает, что бесконечное множество может быть эквивалентно своему подмножеству. В случае конечных множеств такая ситуация невозможна: между двумя множествами A иB можно установить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда . [6, 3]

Задача 3.: Установите взаимно однозначное соответствие между точками интервала (0,1) и точками полуинтервала [0,1).

Решение: Установим взаимно однозначное соответствие между точками интервала (0,1) и точками полуинтервала [0,1). Заметим, что множество (0,1)\A  и множество [0,1)\B. Обозначим . Тогда . Пусть . Если , то поставим ему в соответствие , если же , то поставим в соответствие себя; . Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между (0,1) и . Следовательно, множества (0,1) и  эквивалентны.

Задача 4.: Доказать, что следующее множество счетно: .

Решение: Установим взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами, например, упорядочив множество  следующим образом: 2,4,6,8,...

А затем каждому элементу множества поставив в соответствие его порядковый номер в этой последовательности1,2,3,4,...

Таким образом заданное множество является счетным. 

Задача 5.: Докажите, что множество R всех рациональных чисел счетно.

Доказательство: Известно, что всякое рациональное число может быть представлено в виде отношения двух целых чисел . Рассмотрим пока только положительные дроби вида , где  и  – натуральные числа. Множества таких положительных дробей эквивалентно множеству элементов вида  с натуральными индексами и, следовательно, счетно. Множество отрицательных дробей вида  , где  и  по–прежнему натуральные числа, на основании тех же соображений счетно. Множество R как сумма счетного множества положительных дробей, счетного множества отрицательных дробей и одноэлементного множества, состоящего из числа , счетно на основании свойства 3 счетных множеств. [5,4]

Задача 6.: Докажите, что множество всех алгебраических чисел счетно.

Доказательство: Из курса алгебры известно, что алгебраическим числом называется действительное или комплексное число, являющееся корнем уравнения с целыми коэффициентами: , где n– натуральное число.

Прежде всего, отметим, что уравнений указанного вида степени n имеется счетное множество. Это следует из того, что каждое уравнения определяется -кой натуральных чисел , а множество таких -к на основании свойства 3 для счетных множеств, счетно. Множество всех алгебраических уравнений является суммой счетного числа алгебраических уравнений различных степеней n пробегает натуральный ряд и, следовательно, на основании свойства 3 для счетных множеств, есть счетное множество. [8, 2 ,5]

Суть же понятия «множество» передается словами: «совокупность»,  «собрание», «набор» и т.д., но, как абстрактное математическое понятие «множество» неопределимо. Но несмотря на это, установить какое-либо конкретное множество - задача не из трудных. Назначить любое конкретное множество - значит определить, какие предметы (явления, объекты) принадлежат данному множеству, а какие не принадлежат.

Список литературы:

1. Александров, А.Д. Математика: её содержание, методы и значение (том 3) [Текст] / А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев. - М.: [не указано], 2017. - 90 c.
2. Алексеев, В.М. Избранные задачи из журнала "American Mathematical Monthly" [Текст] / В.М. Алексеев. - М.: [не указано], 2017. - 222c.
3. Вопенка, П. Альтернативная теория множеств: Новый взгляд на бесконечность [Текст] / П. Вопенка. - М.: Новосибирск: Институт математики, 2015. - 612 c.
4. Громак, В.И. Аналитические свойства решений уравнений [Текст] / В.И. Громак, Н.А. Лукашевич. - М.: [не указано], 2016. - 884 c.
5. Казимиров, Н. И. Введение в аксиоматическую теорию множеств [Текст] / Н.И. Казимиров. - М.: [не указано], 2016. - 954 c.
6. Макаров, И.П. Дополнительные главы математического анализа [Текст]/ И.П. Макаров. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов. Просвещение, М.: 1968
7. Пуанкаре, А. Последние работы [Текст] / А. Пуанкаре. - М.: [не указано], 2015. - 129 c.
8. Чебышев, П.Л. Избранные труды [Текст] / П.Л. Чебышев. - М.: [не указано], 2018. - 40 c.