СВОЙСТВА СЧЕТНЫХ МНОЖЕСТВ

Конечное множество — это множество, в котором конечное (то есть не бесконечное) количество элементов. Такие множества довольно просты. Например, мы можем записать их обычным перечислением всех их элементов. (Разумеется, можем мы это чисто теоретически; даже если множество и конечно, то в нём может быть миллион, миллиард, триллион и вообще сколько угодно элементов, и записать их все мы физически не сможем.) Понятно, что объединение, пересечение, разность двух конечных множеств — тоже конечное множество. [8, c. 26-30; 4]

Вспомним один из примеров бесконечных множеств, а именно множество натуральных чисел. Оно бесконечно; но у него есть приятная особенность — хоть его элементы и нельзя сосчитать, их можно занумеровать, каждому дать порядковый номер, причём так, что ни один элемент не окажется обделён вниманием. И сделать это очень просто — здесь каждый элемент, собственно, и есть номер. [6, c.63]

И вообще, возьмём теперь любое множество, в котором все элементы занумерованы натуральными числами, при этом номера не повторяются и каждому натуральному номеру соответствует элемент (то есть нет пробелов в нумерации). Тогда говорят, что определено взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств и (обозначается), а само множество называется счётным множеством.

То есть, грубо говоря, счётное множество — это множество, элементы которого можно занумеровать.

Класс счётных множеств шире, чем могло показаться на первый взгляд. Очень простым, но в то же время довольно поучительным примером счётного множества является множество целых чисел. Изначально оно «занумеровано», но некоторым особым образом: нумерация идёт в две стороны. Но, тем не менее, элементы этого множества можно занумеровать.

Рассмотрим некоторые теоремы, которые характеризуют основные свойства счетных множеств. [1, c.23-58]

Свойство 1: Всякое бесконечное подмножество счетного множества есть счетное множество.

Доказательство: Пусть A – данное счетное множество,  – его бесконечное подмножество . Так как A – счетное множество, то его мощность . В силу того, что , мощность множества

.                                                                              (1)

Но так как мощность  бесконечно, а  – наименьшая из всех мощностей бесконечных множеств, то отсюда следует, что

.                                                                             (2)

Сопоставляя (1) и (2), получим, что .

Следствие: Если из счетного множества A удалить конечное подмножество K , то оставшееся множество A\K счетно.

Справедливость следствия очевидна. Множество A\K, являясь подмножеством множества A, не может быть конечным, так как если бы это было так, то и множество A как сумма двух конечных множеств было бы множеством конечным. Следовательно, множество A\K есть бесконечная часть счетного множества и на основании 1 свойства счетно. [3]

Свойство 2: Бесконечное множество  натуральных чисел счетно.

Доказательство: Пусть n – данное фиксированное натуральное число. Назовем весом n-ки натуральных чисел  сумму входящих в нее натуральных чисел . Поставим в соответствие каждой n-ке  натуральное число следующего вида:

1  1 ………1

Оно окажется -значным натуральным числом, состоящим из единиц, разделенных нулями. Например, при n=3 и h=4 тройках чисел будут поставлены в соответствие натуральные числа:

Нетрудно убедится в том, что разным n-кам будут соответствовать разные натуральные числа. В самом деле, натуральные числа, соответствующие n-кам разных весов  и , не могут быть равными из-за их различной значимости: . натуральные числа, соответствующие различным n-ам одного веса, различны благодаря различным положениям в них единиц, разделенных нулями. Бесконечное множество различных натуральных чисел по свойству 1 счетно. Следовательно, бесконечное множество  счетно. [7, c. 169]

Свойство 3: Сумма счетного множества счетных множеств есть счетное множество.

Доказательство: Пусть дано счетное множество счетных множеств . Каждое из данных множеств можно представить в виде бесконечной последовательности:

Их сумма будет состоять из элементов вида , различаемых натуральными индексами. Эта сумма бесконечна независимо от совпадения или несовпадения элементов различных множеств – слагаемых. На основании предыдущего свойства эта сумма счетна.

Следствие 1: Сумма конечного числа счетных множеств есть счетное множество.

Следствие 2: Сумма счетного числа конечных попарно не пересекающихся множеств есть счетное множество.

Следствие 3: Сумма конечного и счетного множества есть счетное множество. Справедливость этих следствий становится очевидной, если принять во внимание, что каждая из сумм, упоминаемых в этих следствиях, есть бесконечное подмножество счетного множества, о котором говорилось в свойстве 3. [9, 2, 5]

Назначить любое конкретное множество - значит определить, какие предметы (явления, объекты) принадлежат данному множеству, а какие не принадлежат. Система аксиом теории множеств была образована для решения задачи обоснования базовых положений современной математики.

Список литературы:

1. Александров, А.Д. Математика: её содержание, методы и значение (том 3) [Текст] / А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев. - М.: [не указано], 2017. - 90 c.
2. Ван, Хао Аксиоматические системы теории множеств [Текст] / Хао Ван , Р. Мак-Нотон. - М.: [не указано], 2015. - 910 c.
3. Вопенка, П. Альтернативная теория множеств: Новый взгляд на бесконечность [Текст] / П. Вопенка. - М.: Новосибирск: Институт математики, 2015. - 612 c.
4. Казимиров, Н. И. Введение в аксиоматическую теорию множеств [Текст] / Н.И. Казимиров. - М.: [не указано], 2016. - 954 c.
5. Колмогоров, А.Н. Математика XIX века (том 1): математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей [Текст] / А.Н. Колмогоров, А.П. Юшкевич. - М.: [не указано], 2015. - 282 c.
6. Колмогоров, А.Н. Математика XIX века (том 2): геометрия, теория аналитических функций [Текст] / А.Н. Колмогоров, А.Н. Юшкевич. - М.: [не указано], 2016. - 163 c.
7. Курош, А.Г. (гл. ред.) Математика в СССР за сорок лет 1917-1957. Том 2. Биобиблиография [Текст] / А.Г. (гл. ред.) Курош. - М.: [не указано], 2017. - 240 c.
8. Чебышев, П.Л. Избранные труды [Текст] / П.Л. Чебышев. - М.: [не указано], 2018. - 40 c.
9. Шмаков, Владимир Закон синархии. Учение о двойственной иерархии монад и множеств / Владимир Шмаков. - М.: София, 2016. - 320 c.