ОБ ОПТИМИЗАЦИИ РАСЧЕТА ПРОГИБА ПЛАСТИНЫ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Введение

Контактные задачи возникают в различных областях, таких как строительство и машиностроение, и численные методы решения таких задач всё ещё актуальны. Например, в кораблестроении корпус судна представляет собой конструкцию из жестко закреплённых пластин [1]. Также работа [2] показывает применение теории упругости в оценке несущей способности неоднородных конструкций летательных аппаратов.

Параллельное программирование стало одним из самых важных разделов программирования на сегодняшний день. На этот сдвиг парадигм программирования повлияло достижение энергетического предела при использовании ЦПУ, вызванное развитием парадигм программирования с использованием нескольких процессоров/ядер [3]. Многие задачи, которые встречают программисты, возможно решить с помощью параллельного программирования.

Примером такой задачи является вычисление прогиба пластины. Также данные задачи при численном решении имеют большую вычислительную сложность. Параллельную реализацию вычислений можно сделать с использованием современных средства, предоставляемых различными библиотеками, например стандартные потоки .NET для языка C#.

Целью данной работы является реализация параллельного алгоритма для вычисления прогиба пластины по классической теории с использованием C#.

Постановка задачи

Пусть дана пластина ширины  и высоты , по краям пластина жёстко закреплена и на неё действует нормальная нагрузка  (рис. 1). Требуется найти прогиб пластины  и реакции пластины r.

Для решения поставленной выше задачи рассмотрим уравнение Софи Жермен-Лагранжа [8]:

,                                                                (1)

где  — нормальная нагрузка,  — цилиндрическая жёсткость,  — оператор Лапласа в декартовых координатах.

Рисунок 1. Воздействие некоторой нормальной нагрузки на пластину

С учётом сказанного, уравнение (1) запишется следующим образом:

   ,                                                  (2)

где   и . Граничные условия для жёстко закреплённых краёв краев требуют, чтобы [4]

  ,                                               (3)

.                                              (4)

Численное дифференцирование и бигармонический оператор

Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции  по заданным в конечном числе точек значениям этой функции. Рассмотрим сетку , где узлы сетки  Рассмотрим далее разностные выражения для нахождения производных:

1. С помощью левых конечных разностей:

                                                              (5)

.                                                             (6)

2. С помощью правых конечных разностей:

  ,                                                            (7)

.                                                            (8)

3. С помощью центральных конечных разностей

 ,                                                           (9)

  .                                                        (10)

Пользуясь описанными выше соотношениями, выпишем все необходимые для дальнейших действий соотношения:

  ,                                                  (11)

,                                                 (12)

   ,                            (13)

  ,                              (14)

  .                             (15)

Следует отметить, что при использовании этих соотношений значения  должны быть достаточно маленькими, иначе погрешность возрастает слишком сильно [5].

Теперь мы можем записать  с помощью конечных разностей в следующем виде:

.                                          (16)

Воспользуемся способом представления дифференциальных операторов из компьютерной графики в дискретном пространстве и запишем дискретную форму бигармонического оператора [6]:

  .                     (17)

Представив  в виде сетки, с учётом граничных условий, получим, что первые и последние два столбца, а также первые и последние две строки всегда должны содержать только нули. Для дальнейшего решения мы заменим оператор  на матрицу такую, что:

.                                   (18)

Для получения матрицы  необходимо выполнить дискретную свертку для всех  [6]. Дискретная свертка выполняется по следующей формуле:

.                           (19)

Описанная формула задают систему уравнений из  уравнений с неизвестными. Таким образом была получена матрица  и в дальнейшем возможно решать задачу в дискретном виде.

Следует отметить, что для функции , представленной матрицей 100×100, матрица  будет иметь размерность 9409×9409. Для матрицы такой большой размерности довольно трудно найти обратную матрицу, ведь метод Гаусса имеет сложность . При этом можно заметить, что как в строке, так и в столбце матрицы , не более чем  ненулевых элементов, и рассматривать остальные не имеет смысла. Такая оптимизация для матрицы w размерностью 100×100, позволяет выполнять вычисления матрицы  размерностью 384×9409 [7].

Метод обобщённой реакции и численный эксперимент

Пользуясь полученной ранее матрицей , запишем снова уравнения Софи Жермен-Лагранжа.

.                                                              (20)

Для решения этих уравнений воспользуемся методом обобщённой реакции [9]. Данный метод представляет следующую итерационную схему:

,                                                   (21)

,                                            (22)

где  — начальная нагрузка,  — вектор прогиба,  — вектор реакции. Все начальные приближения принимаются нулевыми.

Следует отметить, что данная схема имеет большое количество операций с векторами. Векторные операции довольно хорошо выполняются с использованием нескольких потоков вычисления. Для реализации параллельной схемы вычислений применялся C# 7.0 и использовались стандартные потоки .NET из библиотеки System.Threading [9].

Для пластины с разбиением на 50 точек вычисления, реализованные по последовательной схеме, выполнялись в среднем за 250 секунд. Вычисления по параллельной схеме выполняются в среднем за 201 секунду.

На следующих рисунках приведены результаты работы алгоритма для пластины с разбиением на 50 точек и параметрами:  Полученные результаты качественно согласуются с результатами, полученными в работе [10].

Рисунок .2 График функции прогиба

Рисунок 3. График функции реакции

Заключение

В результате работы были получены две важные оптимизации для вычисления прогиба пластины: оптимизация вычисления обратной матрицы, для матрицы , с учётом её структуры, и была построена параллельная схема вычислений для метода обобщённой реакции.

Список литературы:

1. Mano M., Okada T., Okumoto Y, Takeda Y. Design of Ship Hull Structures. A practical guide for engineer, Beerlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 575 p. 2009.
2. Зайцев С. Е., Сафронов В. С. Исследование напряженно-деформируемого состояния консольных пластин с отверстием // Строительная механика конструкций и сооружений, 2014, № 2. C. 48—62.
3. Войновский-Кригер С., Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки, издание второе, стереотипное, М.: Наука, 1966. 625 с.
4. Chadzynski T. Parallel Techniques in Modeling Particle Systems Using Vulkan* API [Электронный ресурс] // Intel Game Dev (дата обращения 8.05.2019). URL: https://software.intel.com/en-us/articles/parallel-techniques-in-modeling-particle-systems-using-vulkan-api.
5. Гулин А. В., Самарский А. А. Численные методы, М.: Наука, 1989. 313 c.
6. Иванов Д. В., Карпов А. С., Кузьмин К. П., Лемпицкий В. С., Хропов А. А., Алгоритмические основы машинной графики, М: Бином, Интернет Университет Информационных технологий, 2007. 288 c.
7. Ермоленко А.В., Мельников А.В. Расчет контактного взаимодействия прямоугольной пластины и основания по теории Кармана // Вестник Сыктывкар-ского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2018. Вып. 2 (27). C. 86–92.
8. Михайловский Е. И., Тарасов В. Н. О сходимости метода обобщённой реакции в контактных задачах со свободной границей // Прикладная математика и механика, 1993, Т. 57. Вып. 1. С. 128—136. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т. 1989.
9. Nagel C., Professional C# 6 and .NET Core 1.0. Indianopolis: Wrox, 2016. 1464 p.
10. Ермоленко А.В. Уточненные соотношения теории пластин, ориентированные на решение контактных задач // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. Мат. Мех. Инф. Вып. 19. 2014. С. 25-32.