ВЛИЯНИЕ ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУР И СОЛНЕЧНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА ТЕПЛОВОЕ СОСТОЯНИЕ ИЗДЕЛИЙ

Аннотация. В этой статье изучается тепловое состояние изделий, которые эксплуатируются на открытом воздухе в условиях воздействия солнечной радиации.

В целях определения тепловых состояний изделий методом сеток мы решаем прямую задачу. Для этого мы записываем линеаризованную разностную схему и приводим её к трехточечному виду. Далее используем метод Томаса для вычислений.

Ключевые слова: моделирование, математическая модель, теплопроводность, прямая задача.

Эксплуатация изделий на открытом воздухе ставит их в условия неблагоприятного воздействия климатических факторов. В результате ухудшаются свойства конструкционных материалов изделий и снижаются сроки их служебной пригодности.

Итак, у нас есть нестационарное дифференциальное уравнение, которое описывает изменения температуры:

                                          ,                                                      (1)

где, θ – функция,  – ­теплоемкость, l – коэффициент теплопроводности.

Дополним уравнение (1) начальными и граничными условиями:

                                                                 (2)

                                                                   (3)

                            (4)

где θ(t), T₁(t), T_out(t) – функции, h – коэффициент теплоотдачи, – чернота, – коэффициент Больцмана (=5,670367*10^-8 Вт/м²*к⁴),  – коэффициент теплопроводности.

У нас есть математическая модель, которая описывает изменение температуры , где  и .  (1) – (4) называется прямой задачей.

Напишем разностную схему для прямой задачи (также называем её линеаризованной схемой):

   (5)

Введем следующие обозначения:

i – количество точек по оси х;

j – количество точек по оси t;

– шаг по оси х;

 – шаг по оси t;

 – середина двух точек по х;

 – значение функции θ, соответствует точке t^j, xⁱ.

Введем нумерацию сетки разностей точек для каждой оси следующим образом: вдоль оси х - i = 0, 1, 2, ..., N; вдоль оси t - j = 0, 1, 2, ..., M.

Теперь распишем начально-граничные условия:

                                                                 (6)

                                                                (7)

                   (8)

Теперь функция температурного поля будет заменена сеткой  :

(9)

Уравнение (9) приводим к трехточечному виду:

где k – константа.

Подставим в уравение (9):

     (10)

Раскрываем все скобки:

Преобразуем все это в трехточечный вид:

       (11)

Перепишем (11) в более удобную форму для нашего дальнейшего решения, введя коэффициенты A_i, B_i, C_i, F_i^j, где:

После вышеуказанных манипуляций получаем:

                                           (12)

                                             (13)

Здесь альфа и бета – это коэффициенты, которые мы найдем из уравеия (12) с помощью граничных условий. Подставив уравнение (13) в уравнение (12), мы получим следующие рекуррентные выражения:

Где:

Можно использовать эти граничные условия при нахождении граничных температур:

                                                       (14)

                                                               (15)

                              (16)

Используем формулу  в уравнении (16):

Таким образом начально-граничные уловия выглядят так:

                                                         (17)

                                                    (18)

            (19)

Далее получаем значения α1 и β1 по этой формуле:

Разностные шаблоны для разностной схемы (12) имеют вид (рисунок 1):

Рисунок 1. Неявная схема

Получив все коэффициенты альфа и бета, можно вычислить аппроксимированное температурное поле Y_i^j+1 по формуле.

Заключение. Согласно математической модели была сделана компьютерная модель для получения результатов. Мы получили изменения температуры изделий:

Рисунок 3. Изменение теплового состояния изделия

Список литературы:

1. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. – М.: Мир, 1979. – 248 с.
2.  Даффи, Дж.А. Тепловые процессы с использованием солнечной энергии / Дж.А. Даффи, У.А. Бекман. – М.: Мир, 1977. – 420 с.
3. Хоблер, Т. Теплопередача и теплообмен / Т. Хоблер. – Л.: Госхимиздат, 1961. – 820 с.
4. Михеев, М.А. Основы теплопередачи / М.А. Михеев, И.М. Михеева. – М.: Энергия, 1977. – 344 с.
5. ГОСТ 24482–80. Макроклиматические районы земного шара с тропическим климатом. Районирование и статистические параметры для технических целей. – 94 с.