ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ СОБСВТЕННЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ДЛЯ ОДНОЙ МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИКИ

Многие математические модели, описывающие различные физические процессы, основаны на неклассических уравнениях в частных производных, не разрешены относительно старшей производной по времени. Такие уравнения так же называют уравнениями соболевского типа. Исследование данных уравнений приводит к изучению спектральной задачи вида .

Зачастую оператор  может быть представлен как сумма двух операторов . Ярким примером служит оператор Штурма-Лиувилля, встречающийся в моделях таких физических процессов, как волновые колебания, распределение температуры. В таком случае приходим к следующей спектральной задаче

             .                                                               (1)

В отличии от (1) задачи  наиболее полно изучены для самосопряженного оператора  и ограниченного оператора . В основе метода исследования лежит теория регуляризованных следов [1] и теория уравнений соболевского типа [2].

Большой интерес в теории грунтовых вод представляет уравнение Дзекцера

,                                                (2)

которое моделирует эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости. Параметр  определяется формулой , в которой  - коэффициент пористости,  - модуль питания потока через свободную поверхность,  - коэффициент фильтрации,  - напор на свободной поверхности. Параметры  и  определяются формулами .

Зададим операторы T,L:® формулами

                                 (3)

причем

где .

Пусть  - некоторый линейный ограниченный оператор. Рассмотрим оператор . Обозначим через  ‑  -спектр оператора , где  занумерованы в порядке невозрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Требуется найти .

Даны операторы M и L действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H. T - дискретный, самосопряженный, положительный, L - линейный, замкнутый, непрерывно обратимый операторы. Пусть оператор P - ограниченный оператор, действующий в том же пространстве H. За  обозначим относительную L-резольвенту оператора T, а L-резольвента возмущенного оператора T+P. Через  обозначим собственные числа оператора T,  собственные числа оператора L,  -  L-спектр оператора T,  - L-спектр оператора T+P. Зададим контур

,

где .

Теорема 1. [3] Пусть T дискретный, самосопряженный, положительный оператор, L линейный, замкнутый, непрерывно обратимый оператор, причем  ограниченный оператор. Если  ядерный оператор и , тогда имеет место спектральное тождество:

,                                        (6)

где .

Прежде чем использовать формулу (6) для вычисления относительных собственных чисел необходимо сделать следующее:

• Показать сходимость суммы поправок теории возмущений.
• Провести оценку суммы поправок теории возмущений.
• Получить формулу для вычисления поправок теории возмущений
• Преобразовать первую поправку теории возмущений для более удобного вычисления.

Теорема 2. Пусть оператор T дискретный, самосопряженный, полуограниченный снизу. Оператор L линейный, замкнутый, непрерывно обратимый. Если оператор P ограниченный, и , тогда числовые ряды  поправок теории возмущений абсолютно сходятся.

Теорема 3. Пусть оператор T дискретный, самосопряженный, полуограниченный снизу. Оператор L линейный, замкнутый, непрерывно обратимый. Если оператор P ограниченный, и , тогда сумму поправок теории возмущений можно оценить следующим образом:

.

Теорема 4. Пусть оператор T дискретный, самосопряженный, полуограниченный снизу. Оператор L линейный, замкнутый, непрерывно обратимый. Если оператор P ограниченный, и , тогда поправки теории возмущений можно вычислить с помощью формулы

,

где , .

Рассмотрим скалярное произведение  из формулы (6). Преобразуем его для более удобного вычисления.

Рассмотрим прямую спектральную задачу  для уравнения Дзекцера .

Операторы T и L задаются с помощью формул (3). Область . Отношение квадратов сторон данного прямоугольника является иррациональным числом. Следовательно, спектр оператора T однократный. Зададим характеристики среды. Оператор возмущения есть оператор умножения на функцию.

Опишем алгоритм работы программы для вычисления относительных собственных чисел возмущенного оператора:

1. Вводим индексы искомого относительного собственного числа и количество поправок теории возмущений, которые нужно вычислить.
2. Задаем собственные числа операторов T и L с данными индексами.
3. Задаем собственное число оператора T относительно оператора L с данными индексами.
4. Задаем собственные функции оператора T с данными индексами.
5. Вычисляем по формуле из теоремы 4 необходимое количество поправок теории возмущений.
6. Вычисляем с помощью формулы (6) искомое относительное собственное число возмущенного оператора.

Приведем результаты вычислительного эксперимента с точностью до второй поправки теории возмущений:

Таблица 1.

Относительные собственные числа

В данной работе исследована и решена прямая спектральная задача для уравнения Дзекцера. Существенным является, что оператор L непрерывно обратим. Так же налагается существенное ограничение на норму возмущающего оператора. Преимуществом разработанного метода является неитерационная формула вычисления собственных чисел. Снижает вычислительную эффективность формула поправок теории возмущений.

Список литературы:

1. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов // УМН. – 2006. –Т.61. ‑ №5. – С. 885-953
2. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equation and Degenerator Semigroups of Operators, Utrecht, Boston:VSP, 2003.
3. E.V. Kirillov, The spectral identity for the operator with non-nuclear resolvent // Journal of Computational and Engineering Mathematics. – 2017. Vol. 3. № 58 1 ‑ P.69-75.