ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ЛОРАНА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Введение. Ряды Лорана, являющиеся обобщением рядов Тейлора, нашли широкое применение в решении прикладных задач целого ряда отраслей. Особенно эффективно их использование в решении нелинейных задач, требующих, как правило, применения обширного математического аппарата. Вместе с тем, их решение представляет большое прикладное значение в проведении различных расчетов.

Как показал анализ публикаций за последнее десятилетие, упоминание о рядах Лорана в современных работах практически не встречается. Разложение функций в ряды Лорана довольно часто применялось специалистами Советской школы в решении широкого круга задач в 60-70-е годы прошлого столетия. Однако, возможности применения этого математического аппарата, которые, на взгляд автора, далеко не исчерпаны, могут вызвать определенный практический интерес в науке и в настоящее время. На сегодняшний день уровень развития высоких технологий и программных комплексов способен существенно облегчить процедуру внедрения этого аппарата для использования его в сложных практических расчетах.

Основные теоретические положения. Среди классов рядов аналитических функций, отличных от степенных, наиболее близкими к степенным по своему происхождению и свойствам являются ряды, расположенные по целым отрицательным степеням :

                             (1)

Полагая , преобразуем ряд (1) к виду

                                                           (2)

Радиус сходимости последнего ряда есть  при , если , то ряд (2) сходится только в точке ; если , то ряд абсолютно сходится в круге и расходится вне его, и если , то ряд абсолютно сходится в каждой конечной точке плоскости. Отсюда в силу соотношения  следует, что если , то ряд (1) расходится  в каждой конечной точке; если , то он абсолютно сходится при  и расходится при . Наконец, если , то ряд абсолютно сходится во всех точках плоскости, за исключением точки  . Иными словами, область сходимости ряда (1) есть внешность круга радиуса  с центром , которая при  вырождается в бесконечно удаленную точку, при  является внешностью круга в собственном смысле слова, и, наконец, при  превращается во всю плоскость, за исключением из нее точки . Будем считать, что ; тогда действительно существует область сходимости ряда (1)  , которая обозначена через К . Так как ряд (2) сходится равномерно на каждом замкнутом множестве точек круга k : , и линейное преобразование  переводит любое замкнутое множество точек круга k в некоторое замкнутое множество точек области  К  и обратно, то ряд (1) равномерно сходится во всей области К. В этой области он определяет функцию :

                   (2*)

аналитическую (по теореме Вейерштраса) во всех конечных точках области К. В бесконечно удаленной точке  принимает значение А: . Будем, по определению, называть функцию  аналитической в бесконечно удаленной точке. Таким образом, аналитичность функции в бесконечно удаленной точке будет характеризоваться наличием разложения вида (2*), сходящегося в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки [1, 2, 3].

Рядом, обобщающим понятие ряда, расположенного только по целым неотрицательным степеням  (степенного ряда) или только по целым неположительным степеням , является ряд Лорана [1, 2, 3]. Так называется ряд вида

                                                            (3)

Ряд этот понимается как сумма двух рядов

  и                                    (4)

и рассматривается как сходящийся только тогда, когда сходятся оба ряда (4). Свойства абсолютной и равномерной сходимости ряда Лорана в силу определения сводятся к соответствующим свойствам рядов (4).

Задача изгиба перфорированной плоскости. Удачное применение рядов Лорана реализовано Савовой Л.И. в решении задачи об изгибе перфорированной плоскости [4]. В качестве неоднородной среды рассматривается плоскость с бесконечным числом одинаковых круговых отверстий или жестких включений, расположенных в узлах квадратной решетки. В постановке классической теории упругости методами теории функций комплексного переменного отыскивается решение задачи о чистом изгибе такой плоскости. В дальнейшем задача сводится к отысканию некоторых двух функций, отвечающих соответствующим начальным условиям.

Решение поставленной задачи осуществляется путем разложений по следующим функциям и их последовательным производным:

                                   (5)

    (6)

        (7)

В формулах (5) – (7) у сумм отсутствует член, соответствующий . Здесь  эллиптическая функция Вейерштраса [2],  и  - мероморфные функции, имеющие полюсы в точках . Далее функции (5) - (7) раскладываются в ряд Лорана в окрестности точки  () [4]: .

              (8)

                 (9)

                     (10)

Здесь , , ,       ,      

Функция  и ее производные – двоякопериодические с основными периодами  и . Функции  и  обладают следующими свойствами

                                                   (11)

где - дельта – функция Вейерштрасса [2]

, ,                              (12)

,   .

Дальнейшее решение задачи отыскивается в виде

      (13)

Далее, из условия периодичности  и , с учетом (11) и (12), определяем коэффициенты  и , и затем осуществляется разложение  в ряд Лорана  и  около контуров    [4]

,                                                   (14)

,                                       (15)

                ,                                (16)

,                                      (17)

Далее выражения (14) и (16) подставляются в граничные условия задачи, и после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях получается бесконечная система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов , , , , [4]. Исключая неизвестные , , , получены две бесконечные подсистемы: первая – для определения коэффициентов 

                                  (17)

                     (18)

,     

вторая – для определения ,  когда уже найдены

                    (19)

Значения ,  и  в (15) и (17) те же, что в (18).

Для  получены выражения [4]    

 (20)

Далее доказывается квазирегулярность систем (17) и (19).    После замены переменных

, , 

и используя результаты Шермана Д. И. [5]

                       ,  ,,  (21)

определяется

Из (22) следует, что система (17) квазирегулярна [6] и имеет место оценка

                                                                          (23)

Аналогично доказывается и квазирегулярность системы (19) [4]

                                                                     (24)

,  ,     

Из соотношений (21), с учетом (23) и (24), получено [4]

, ,  

                                                     (25)

Абсолютная и равномерная сходимость рядов (13) при  и  для  доказывается аналогично методике работы [5], используя оценки (22) - (24) и неравенства

                          (26)

имеющие место в области  при . Абсолютная и равномерная сходимость при следует из соотношений (11) и оценок (23) - (26). Т.е., если отверстия не пересекаются и не касаются, то ряды  (13) определяют регулярные  в области и непрерывные в функции  и . 

Далее, решение систем (17) и (19) осуществляется методом малого параметра  [4]

,                           (27)

,      

Из (21), используя (27), находятся [4]

                                                (28)

                 ,      

, ,      (29)

Члены разложений (27) определяются из систем (17) и (19) при помощи реккурентных соотношений [4].                                               

Квадратная решетка в смысле приведенных параметров будет ортотропной, при этом два главных направления ортотропии эквивалентны. Для плоской задачи чистого изгиба ортотропной полосы классическая теория упругости дает поле перемещений [4]

, ,                   (30)

Здесь кривизна изогнутой оси,  - координаты сечений.

При ширине полосы  изгибающий момент равен

,  ,

т. е. жесткость на изгиб  пропорциональна [4].

Опуская дальнейшие математические выкладки, делается вывод, что поправка к классической теории упругости в выражении для приведенной жесткости на изгиб в случае перфорированной плоскости, имеет такой же характер, как поправка, вносимая моментной теорией. Постоянные моментной теории, имеющие размерность длины, должны быть порядка размера отверстий (включения)  [4].

Заключение. Таким образом, выше было показано решение задачи об изгибе перфорированной плоскости, в котором реализовано эффективное применение разложения сложных математических функций в ряды Лорана. Необходимо отметить, что это одна из немногих задач, где имеет место использование данного математического аппарата. Реализация этого подхода далеко не исчерпывается задачами механики твердого тела. Как уже отмечалось вначале работы, потенциал применения рядов Лорана в настоящее время раскрыт не полностью и с применением современных программных продуктов, возможно, его распространение на решение задач самого различного профиля. Это является целью дальнейшей исследовательской работы специалистов.

Список литературы:

1. Титчмарш Е. Теория функций.  Пер. с английского. - Изд. 2. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы. – 1980.- 464 с.
2. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. - 1957.- 338 с.
3. Лаврентьев М. А. Б. В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. Сп-б.- Изд. «Лань». - 2002. - 688 с.
4. Савова Л. И. Задача об изгибе перфорированной плоскости (решение и эффект моментных напряжений). Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1970, № 3.- С. 32 – 42.
5. Шерман Д. И. Весомая среда, ослабленная периодически расположенными отверстиями круговой формы. Инж. сб. – 1961 - т. 31.
6. Канторович Л. В., В. И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа. М.- Л. Физматгиз. -1962.
7. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.  Изд. 5. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы. – 1966. - 709 с.