ВАРИАТИВНЫЕ ЗАДАЧИ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Аннотация. В работе рассматриваются задачи, которые имеют неоднозначную формулировку и могут быть решены различными способами, в зависимости от выбора начальных условий. Данные задачи имеют несколько решений, и, следовательно, несколько верных ответов. Решение подобных заданий полезно для развития познавательной деятельности и критического мышления учащихся.

Ключевые слова: геометрия, планиметрия, школьные задачи.

В настоящее время практически в любом школьном учебнике по геометрии можно найти ряд задач, которые в условии своем имеют неоднозначную формулировку, а та, в свою очередь, может привести к различным, не похожим друг на друга, вариантам решения задачи. Однако, подобные задания могут быть очень полезны для учащихся, так как они предоставляют больше возможности развитию критического мышления обучающегося, чем задачи с конкретными условиями, имеющими единственное решение. Вариативные задачи могут быть использованы для выявления математически одаренных учеников, поскольку умение увидеть задачу в различных вариантах требует от школьника большой логики и нестандартности мышления.

Для более полного понимания «вариативности» приведем очень простой пример, показывающий, что от точки зрения может зависеть ответ на поставленную задачу. На книжной полке стоят две книги. Толщина страницы составляет 0,1 мм, а толщина обложки – 3 мм. В первой книге 1500 страниц, а во второй – 500. Червячок прогрыз две книги от первой страницы первой книги до последней страницы второй. Какое расстояние он при этом прошел? Очевидно, что в этой задаче возможны два верных ответа, и все зависит от того, каким образом расположены книги.

Решить вариативную задачу – значит предоставить не только единственный ответ, но также рассмотреть все возможные варианты решений. Можно выделить следующие типы условий, ведущих к неоднозначности решений.

1. В условии не обговорено взаимное расположение точек и фигур.

2. В задаче могут быть даны окружности с общей касательной, но не указан тип касания (внешним или внутренним образом). Так же окружности могут касаться, однако не указывается каким образом.

3. В задаче не указан порядок между множествами объектов и множествами их свойств.

4. В условии задачи не сказано, каким образом (внутренним или внешним) точка (отрезок, прямая) делит данный отрезок.

Возможны другие условия, которые ведут к расхождениям и различным решениям. Рассмотрим приведенные пункты на примерах.

Задача 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AM делят сторону KP точками T и F так, PF:FT = 3:5. Найдите PK, если AK = 24. [2]

Первый случай, когда точки T и F принадлежат стороне КР таким образом, что прямые МТ и АF пересекаются в точке, лежащей внутри параллелограмма:

Рисунок 1. Чертеж 1 к задаче 1

В треугольнике АКТ: АК = КТ, в треугольнике МFP: РМ = РТ.

АК = КТ = 24, МР = РТ = 24.

PK = KF + FP = 24 + 9 = 33.

Во втором случае прямые МТ и АF пересекаются в точке, лежащей вне параллелограмма:

Рисунок 2. Чертеж 2 к задаче 1

Треугольник MTP – равнобедренный, поэтому   MP = PT = 24.

Тогда PF = 30. Аналогично, треугольник AKF – также равнобедренный и AK= KF = 24. Следовательно, KP = PF + FK = 30 + 24 = 54.

Таким образом, имеем два ответа, соответствующих представленным случаям. Если учащийся приводит оба варианта расположения точек F и Т, то, в таком случае, задача считается полностью решенной.

Далее, для краткости, будем приводить только чертежи для каждого из возможных вариантов, а решение самих задач предоставим читателю, так как задания взяты из школьного материала и не должны вызвать серьезных затруднений.

Задача 2. Две окружности с радиусами 36 и 9 внешнекасательны. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в окружность, касательную к двум данным и к их общей касательной.

Мы приведем только возможные расположения окружностей, в которые вписан треугольник с искомой площадью.

Рисунок 3. Чертеж 1 к задаче 2

Если внимательно присмотреться, то можно заметить, что окружность с центром в точке  тоже удовлетворяет условиям задачи, и тогда чертеж для задачи будет выглядеть практически также, только окружность с центром в точке  будет данной.

Таким образом, возможны два ответа: 12  или 972 .

Задача 3.В треугольнике АВС АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Точка D лежит на ВС так, что BD: DC = 2:3. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.

В данной задаче не сказано каким именно, внутренним или внешнем образом, точка D делит отрезок BC. Вследствие этого возникает два возможных варианта решения поставленной задачи.

Рассмотрим чертежи:

Рисунок 4. Чертеж 1 к задаче 3

Рисунок 5. Чертеж 2 к задаче 3