ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

Большой вклад внесли и отечественные математики. Московская советская математическая школа связана с изучением в области метрической теории функций, методы которой впоследствии стали использоваться во многих математических теориях. Так часть открытий фундаментальных результатов из теории тригонометрических и ортогональных рядов принадлежит советским математикам – Дмитрию Евгеньевичу Меньшову, Андрею Николаевичу Колмогорову и др. Николаем Николаевичем Лузиным был построен почти всюду расходящийся тригонометрический ряд (с коэффициентами, сходящихся к нулю), который позже был обобщен Владиславом Орличем на произвольные ортонормированные системы. [4]

В рамках традиционного математического и функционального анализа, ортогональные системы функций и ряды по ортогональным системам изучаются недостаточно подробно. [3] Данная тема будет полезна для самостоятельного изучения и подготовки не только специальностям связанных со статистикой, теорией вероятности, но и другим специальностям.

Итак, начнем с основных понятий.

Ортогональная система функций на отрезке  - система функций , заданных на отрезке  и которая:

а) интегралы  существует для всех n = 0, 1, …;

б) функции  и  ортогональны на отрезке , т.е.

.

Ортогональная система функций на отрезке  с весом  – система функций , если:

а) интегралы  существует для всех n = 0, 1, …;

б) функции  и  ортогональны на отрезке  с весом  

т.е. .

Рассмотрим примеры ортогональных функций и покажем их ортогональность.

Тригонометрическая система. Покажем, что система  ортогональна на отрезке .

Ортогональность различных между собой функций будет следовать из равенств: ,  ∀ n=1, 2, …,

,

Интегралы от квадратов функций – равны:

Тригонометрическая система  ортогональна на отрезке . Отметим, что системы и  ортогональны на отрезке . Систему  можно сделать ортонормированной и тогда она примет вид: . [3]

Система функций Бесселя. Покажем, что система , где  нули  и  удовлетворяет уравнению , ортогональна на отрезке  с весом x.

Из  в силу преобразований получим: , и тогда

.

Пусть  и , получаем:

 и .

Умножим первое на , а втрое на  и вычтем из первого второе, получим:

.

Если учесть, что , получается:

 [1]

Проинтегрируем последнее равенство в пределах от 0 до 1:

.

Но  и , тогда проинтегрирую - , при :

.

При , и учитывая , выведем ортогональность с весом x функций  и :

.

Воспользуюсь правилом Лопиталя, при переходе к пределу при , получаем: .

Следовательно, , т.е. система ортогональна на отрезке  с весом x. [2]

Система функций Радемахера. Функции такой системы определяются:

, , n=0, 1, ... , .

Разделим отрезок [0;1] на  равных частей для построения функции .

Пусть: , k=0, 1, …, ,а  примет вид:

.

Например, график для  (см рис. 1)

Рисунок 1. Система функций Радемахера.

Функция Радемахера будет ортогональна на [0;1], тогда для любого n≥0 будет справедливо равенство: .

Для определенности m>n, в каждом интервале  длины  содержится четное число  интервалов  длины . Следовательно, интервал постоянства функции  содержит одинаковое число интервалов, в которых  и , т.е.  и .

При n≠m: . [1, 3]

Таким образом, система {} является ортонормированной на отрезке [0;1].

Система функций Уолша. Функции можно определить через функции Радемахера. Для 0 ≤ x ≤ 1 пусть , k=0, 1, …, двоичное представление числа n≥1: , тогда функция Уолша с соответствующим номером будет определятся соотношением: . [2]

Условимся, что в двоично-рациональных точках ,

, значит  равно полусумме предельных значений этой функции, т.е. .

Рисунок 2 показывает график функции для  для n = 0, 1, 2, 3.

Рисунок 2. Система функций Уолша

Покажем ортогональность функций Уолша. Для функций Радемахера выполняется соотношение , то из  следует, что при любом n= 0, 1,… во всех двоично-иррациональных точках , и тогда  .

Если n ≠ m, то в произведении  будет иметь по крайнее мерее два различных множителя:  и . Пусть  и , - функции Радемахера с наибольшими номерами входящие в произведение . Из пункта о системе функций Радемахера следует что каждый интервал постоянства функции  содержит одинаковое число интервалов, где

 и . Как и при доказательстве ортогональности функций Радемахера:. [3]

Таким образом, система функций Уолша  является ортонормированной на отрезке [0;1].

Список литературы:

1. Бадков, В.М. Асимптотическое поведение ортогональных многочленов [Текст] /В.М Бадков – Успехи матем. наук. 1978. Т.ЗЗ. N4. С.51-106.
2. Гурса, Э. Курс математического анализа, том 1, часть 2. Разложения в ряды. Геометрические приложения. [Текст]/ Э. Гурса – М.-Л.: ГТТИ, 1933
3. Коллатц, Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. [Текст]/ Л. Коллатц – М.: Мир, 1969
4. Фадеев, Н.П. О многочленах, ортогональных на нескольких отрезках [Текст]/ Фадеев Н.П. – Уч. зап. Казан, пед. ин-та. 1970. Вып. 83. С. 162.