ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ

Большой вклад внесли и отечественные математики. В середине XIX века основоположник петербургской математической школы Пафнутиям Львовичем Чебышевым исходя из его исследований по интерполированию наименьших квадратов был предложен класс ортогональных систем функций. [9] Позже математиками из Германии, России, Франции и т.д. были открыты, изучены аналитические ортонормированные системы полиномов, которые в последствие объединили в группу классических ортогональных полиномов непрерывного аргумента.

В рамках традиционного математического и функционального анализа, ортогональные системы функций и ряды по ортогональным системам изучаются недостаточно подробно. [7] Данная тема будет полезна для самостоятельного изучения и подготовки не только специальностям связанных со статистикой, теорией вероятности, но и другим специальностям.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, когда собственными функциями задачи Штурма – Лиувилля будут являться обычные полиномы:

.

Полиномы Лежандра. Краевая задача для уравнения Лежандра: найти решения уравнения: , при условии y(x) ограничено при x→1–0 и x→-1+0. Найдем решение данного уравнения в виде ряда

.

При подстановки ряда в исходное уравнение получим: , перепишем в виде

. [6, 8]

Отсюда можем найти:  Т.е.  устанавливает связь между коэффициентами ряда  отдельно как с четными так и с нечетными номерами, поэтому можно рассматривать отдельно четное и нечетное частное решения для уравнения: ,

.

Если  ,то ряды  и  с коэффициентами, определенными из рекуррентных соотношений  ,будут расходится в точках x=1,т.е. не будут удовлетворять условия.

Если  ,где k–целое число, то , то частным решением  и  является многочлен степени k, для которого выполнило условие. Следовательно, числа , являются собственными числами краевой задачи Штурма–Лиувилля для уравнения Лежандра, а соответствующие им собственные функции являются многочленами степени k (многочлены Лежандра, обозначение ). В силу теоремы из первой главы многочлены Лежандра ортогональны на отрезке [-1;1] с весом ρ(x)=1,т.е.  при k ≠ m. [6]

Многочлены Лежандра могут быть вычислены, например, с помощь формулы Родрига:  . [1]

Вычислим  для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 и графики для них (см. рис. 1).

Рисунок 1. Полиномы Лежандра.

Найдем решение уравнения

,

 перепишем его в виде: , ограниченное при x→. Подставим ряд  в исходное уравнение, т.е.

, коэффициенты ряда будут находится по рекуррентной формуле  [9]

Как и в предыдущим случае будет два частных решения, четное и нечетное. Если , где k – целое число и  для всех m=1, 2, …, т.е. соответствующее частное решение  или исходное является мночленом степени k. [5]

Таким образом, числа , являются собственными числами двух рассмотренных выше краевых задач, а соответствующие им собственные функции являются многочленами степени k (многочлены Чебышева, обозначение . Многочлены Чебышева  ортогональны на отрезке

[-1;1] с весом , т.е.  при k ≠ m.

Выражение полинома  зависит от чисел  и . При  для  и  для , полиномы Чебышева с целыит коэффициентами для k = 0, 1, 2, 3 (см. рис. 2).

Рисунок 2. Полиномы Чебышева.

Полиномы имеющие постоянные множители можно найти из формулы Родрига, которые для полиномов Чебышева имеет вид:

Особое значение имеют полиномы Чебышева с главным коэффициентами 1, представленные в виде  Такие полиномы используются для решение задачи сформулированной Пафнутием Львовичем Чебышевым в 1854 году: Среди всех полиномов  степени n с главным коэффициентом 1 определить полином, наименее уклоняющейся от нуля на отрезке [-1;1]. Пафнутий Львович показал, что имеет место соотношение  и такой полином уклоняющейся от нуля будет единственным. [2, 9, 10]

Полиномы Якоби. Частными случаями общих полиномов Якоби  являются полиномы Лежандра и полиномы Чебышева, т.е. решение задачи Штурма–Лиувилля будет сводится к получению этих полиномов. Найдем решение уравнения  ограниченное при , уравнение можно переписать

.

Решение исходного ряда найдем в виде ряда .

Так как ,

, то ряд примет вид Отсюда получим рекуррентную формулу для коэффициента

Если  где k–целое число и  , т.е. соответствующие части данного уравнения являются полиномом степени k. Следовательно, числа  являются собственными числами задачи Штурма–Лиувилля для данного уравнения при условии, что y(x) ограничено при x→1–0 и x→-1+0, а соответствующие им собственные функции и есть полиномы Якоби . [4] Полиномы Якоби ортогональны на отрезке [-1;1] с весом , т.е.

 при k≠m.

Формула Родрига для полиномов Якоби

Можно заметить, что полиномы Лежандра при α=β=0, полиномы Чебышева при α = β= –1/2. Полиномы при которых α = β называются ультрасферические полиномы. [3, 10]

Другие виды ортогональных полиномов выводятся также из решения задачи Штурма–Лиувилля или из ортогонализации системы степеней  на отрезке [a;b] с весом . Но для любых ортогональных полиномов  будет справедливо рекуррентное соотношение , где  – коэффициент при старшей степени полинома ,  – некоторая постоянная. Также будет справедлива формула Кристоффеля–Дарбу

.

Список литературы:

1. Бадков, В.М. Асимптотическое поведение ортогональных многочленов [Текст] /В.М Бадков – Успехи матем. наук. 1978. Т.ЗЗ. N4. С.51-106.
2. Богатырев, А.Б. Эффективное вычисление многочленов Чебышева на нескольких отрезках [Текст] / А.Б. Богатырев – Матем. сб. 1999. Т.190. N11. С.15-50.
3. Брудно, А.Л. Теория функций действительного переменного. [Текст] /А.Л. Брудно – М.: Наука, 1971
4. Гриншпун, З.С. Ортогональные многочлены Бернштейна-Сегё. [Текст]/ З.С. Гриншпун – Алмата, 1992.
5. Джексон, Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. [Текст]/ Д Джексон – М.: ИЛ, 1948
6. Колмогоров, А.Н. Элементты теории функций и функционального анализа (4-е изд.). [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин – М.: Наука, 1976
7. Лукашов, A.Л. Многочлены, ортогональные на нескольких дугах // Современные проблемы теории функций и их приложения. [Текст] Тез. докл. 10-й Сарат. зимней школы. / A.Л. Лукашов Саратов: Изд-во СГУ, 2000. С.83-84.
8. Лукашов, А.Л. Об одном обобщении классических ортогональных многочленов. Математика, механика и их приложения. [Текст]/ А.Л. Лукашов – Саратов: Изд-во СГУ, 1998. С.44.
9. Пастор, A.B. Обобщенные полиномы Чебышева и уравнение Пелля-Абеля. Фундам. и прикл. матем. [Текст]/ A.B. Пастор 2001. Т.7. N4. С.1123-1145.
10. Сеге, Г. Ортогональные многочлены. [Текст]/ Г. Сеге – Физматгиз,1962.