МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕБЕРУЩИХСЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Аннотация: в данной статье рассматриваются такие способы решения неберущихся определенных интегралов как метод Симпсона, трапеций, разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена. Использование данных методов продемонстрированы на конкретных примерах.

Ключевые слова: интегрирование, неберущиеся интегралы, метод трапеций, метод Симпсона, метод разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Существует множество способов вычисления определенных интегралов. Это может быть непосредственное интегрирование или же вычисление с помощью подстановок и преобразований. Однако существуют интегралы, которые не вычисляются ни одним из принятых методов. Данные интегралы называются неберущимися. Говорят, что неберущиеся интегралы нельзя вычислить.

Но в математике все же существуют методы вычисления неберущихся интегралов, причем их вычисляют с заданной точностью. В данной статье мы рассмотрим данные методы на конкретных примерах. В статье приведены три способа вычисления неберущихся интегралов: метод трапеций, метод Симпсона, метод разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Использованные методы описаны во многих учебниках по курсу высшей математики. Например, в учебнике В.Е. Шнейдера «Краткий курс высшей математики» описаны метод трапеций и метод Симпсона и приведены примеры вычислений неберущихся интегралов данными способами.

Ниже приведем три способа численного вычисления неберущихся определенных интегралов:

1) метод разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена;

2) метод трапеций;

3) метод Симпсона.

Пример 1. Вычислить  с точностью

Известно, что данный интеграл называется «интегральным синусом» и относится к неберущимся интегралам. Данный интеграл нельзя выразить через элементарные функции, но его можно вычислить приближенно. Вычислим значение данного интеграла разложением в ряд Маклорена.

Разложим сперва функцию синуса в ряд Маклорена по формуле:

Теперь разделим каждый член ряда на :

Таким образом, мы приближенно вычислили данный интеграл с заданной точностью

Ответ:

Пример 2. Вычислить  с точностью

Как и в примере 1, данный интеграл также относится к неберущимся и называется «интегральным логарифмом». Вычислим приближенно данный интеграл методом трапеций:

где  - длина шага,  – значение подынтегральной функции в узловых точках, а  – количество отрезков разбиения.

Разобьем отрезок  на 10 частей и вычислим для него длину шага разбиения:

Так как нам требуется вычислить данный интеграл с точностью до сотых, будем округлять значения подынтегральной функции в узловых точках до четырех знаков после запятой.

Данные вычислений представим в таблице 1.

Таблица 1

Промежуточные вычисления (пример 2) при разбиении отрезка на 10 частей.

Получаем следующее:

=

Теперь разобьем наш отрезок на 20 частей и снова вычислим приближенное значение интеграла, а затем сравним полученные значения при первом разбиении и втором. Если абсолютная разность окажется меньше, чем , то приближенное значение с заданной точностью будет найдено.

Данные вычисления представим в таблице 2.

Таблица 2

Промежуточные вычисления (пример 2) при разбиении отрезка на 20 частей.

Так как , то делаем вывод, что

Ответ:

Пример 3. Вычислить  с точностью .

Как и в двух предыдущих примерах, данный интеграл относится к неберущимся и носит название «интегральная экспонента».

Вычислим приближенно его методом Симпсона по следующей формуле:

где  – длина шага,  – значения подынтегральной функции на концах отрезка   – значения подынтегральной функции в узловых точках с четными индексами, а  – значения подынтегральной функции в узловых точках с нечетными индексами.

Разобьем наш отрезок на  частей:

Поскольку требуется вычислить данный интеграл с точностью до тысячных, то будем оставлять пять знаков после запятой при вычислениях.

Данные вычислений представим в таблице 3.

Таблица 3

Промежуточные вычисления (пример 3) при разбиении отрезка на 8 частей.

Теперь разобьем наш отрезок на  частей и вычислим длину шага разбиения:

Данные вычислений представим в таблице 4.

Таблица 4

Промежуточные вычисления (пример 3) при разбиении отрезка на 10 частей.

Так как  делаем вывод, что

Ответ:

Итак, мы выяснили, что неберущиеся интегралы можно вычислить с определенной точностью, используя любые из вышеперечисленных методов.

Список литературы:

1. Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для вузов [Текст] / В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов. – М.: Высшая школа, 1972. – 640 с.
2. Неберущиеся интегралы, формулы и примеры [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ru.solverbook.com/spravochnik/integraly/neberushhiesya-integraly/ – Заглавие с экрана. – (Дата обращения: 07.06.18).
3. Методы разложения функций в ряд Тейлора [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.kantiana.ru/mathematics/umk/analis68.pdf – Заглавие с экрана. – (Дата обращения: 07.06.18).