ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДЫНТЕГРАЛЬНОГО ВЫРАЖЕНИЯ

Аннотация. Cтатья посвящена способам решения интегралов тригонометрических функций без использования метода подстановок. В статье разобраны примеры решения интегралов тригонометрических функций посредством упрощения подынтегральной функции с использованием тригонометрических формул.

Ключевые слова: интегрирование, тригонометрические функции, тригонометрические формулы, упрощение функции.

Одним из важнейших понятий математического анализа является понятие интеграла, так как он является одним из основных инструментов работы с функциями. К примеру, интеграл применяется при вычислениях площади фигуры, ограниченной линиями, объема тела, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, энергии, работы, давления, электрического заряда и многих других величин. Кроме того, понятие интеграла рассматривается и в школьной программе. Например, в средней школе рассматривают определенный интеграл при вычислении площадей криволинейных трапеций.

При решении интегралов мы часто сталкиваемся с тем, что в подынтегральном выражении имеются тригонометрические функции. Обычно при решении таких интегралов в учебных пособиях нам предлагается воспользоваться подстановкой. Метод подстановки - весьма эффективный метод, ведь в результате его применения исходный интеграл быстро сводится к табличному. Но существуют и другие методы решения данных интегралов. Один из них – прямое преобразование подынтегральных тригонометрических функций. При этом можно также быстро и эффективно упростить функцию и перейти к табличному интегралу. Плюсы данных преобразований заключаются в том, что у учащихся при этом будет происходить процесс запоминания тригонометрических формул и выражений, а также для применения той или иной формулы им необходимо действительно поразмышлять, а не усложнит ли это преобразование задачу.

Целью данной статьи является рассмотрение способов решения интегралов, где подынтегральным выражением являются тригонометрические функции, и демонстрация пользы применения прямых преобразований данных функций, нежели применения подстановки.

Проблему решения интегралов с тригонометрическими функциями в подынтегральном выражении рассматривали такие ученые как Е.П. Быковская, М.К. Иванова, К.С. Нурпеисов, Г.Ш. Окпебаева. Но при этом все они рассматривали при решении интегралов только методы подстановки. Мы же хотим показать важность применения не только этого метода, но и прямых преобразований тригонометрических функций.

Рассмотрим примеры вычисления интегралов в обоих случаях: с помощью использования подстановки и тригонометрических формул.

Пример 1. Вычислить . Решим сначала данный интеграл методом подстановки, полагая, что :

С учетом замены получаем, что:

Теперь попробуем решить данный интеграл, не прибегая к подстановкам, а лишь используя основные тригонометрические формулы.

.

Как видно из решения, данный метод оказался даже более компактным.

Преобразуем в первом варианте решения ответ:

Теперь преобразуем второй вариант решения:

.

Как видим, решения эквивалентны, а значит, ответ в обоих случаях получен верный. Тем самым мы решили интеграл, без использования подстановок и еще раз убедились в правильности решения.

Пример 2. Вычислить  Решим данный интеграл сперва методом подстановки, а затем с использованием тригонометрических формул.

С учетом, что  получаем:

Теперь решим данный интеграл без помощи подстановок:

Тем самым мы убедились, что решение интеграла тригонометрической функции может быть получено и без внедрения подстановок. Первообразные в обоих случаях являются также тождественными.

Итак, мы показали, что при решении интегралов, в которых подынтегральным выражением является тригонометрическая функция, не обязательно использовать метод подстановки. Для учащихся также будет полезно решать такие интегралы, используя тригонометрические формулы. Ведь при таком подходе учащиеся могут прийти к нестандартному решению интеграла, а кроме того это способствует лучшему усвоению и запоминанию тригонометрических формул и выражений.

Список литературы:

1. Быковская Е.П. О некоторых методах интегрирования тригонометрических функций [Текст] / Е.П. Быковская, М.К. Иванова // Наука ХХI века: проблемы, поиски, решения. 2016. С. 23-27.
2. Давыдов Н.А. Сборник задач по математическому анализу. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов [Текст] / Н.А. Давыдов, П.Н. Коровкин, В.Н. Никольский. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1973. – 256 с.
3. Нурпеисов К.С. Методы интегрирования тригонометрических функций [Текст] / К.С. Нурпеисов, Г.Ш. Окпебаева // Apriori. Серия: естественные и технические науки. 2017. №2. С. 17.