РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ОДНОСТОРОННИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Введение

Классическая постановка задачи теории упругости внутри области с трещиной, как правило, подразумевают что напряжение на берегах трещины равно нулю. Но даже отсутствие поверхностных сил не исключает ситуации, когда берега трещины проникают друг в друга, что с точки зрения механики процесса не естественно. В работах по теории трещин все чаще рассматриваются модели с нелинейными краевыми условиями на берегах трещины [8]. Данные краевые условия используются в виде неравенств и обеспечивают взаимное не проникание берегов трещины. Этим модели допускают вариационную постановку в виде минимизации выпуклого функционала на замкнутом подмножестве исходного гильбертова пространства. Отсюда следует, что особую актуальность приобретает разработка эффективного метода решения указанных вариационных неравенств.

В данной работе для решения плоской задачи с трещиной и условиями взаимного не проникновения берегов трещины друг в друга применялась схема двойственности, основывающаяся на модифицированных функционалах Лагранжа. Как правило, полагается достаточная регулярность поставленных условий, обеспечивающих разрешимость двойственной задачи. Но в задаче теории упругости с трещиной регулярности решения может быть недостаточно для разрешимости двойственной задачи. Независимо от этого для решения исходной задачи в работе используется схема двойственности и приводятся численные примеры, указывающие на их эффективность.

Постановка задачи

Пусть дана область в виде единичного квадрата. Обозначим через  эту ограниченную область с достаточно регулярной границей , и разрез (трещину) внутри  Так же, пусть   непересекающиеся попарно открытые подмножества , где  (рис. 1).

Рисунок 1. Упругое тело с трещиной внутри

Предполагаем, что

считая, что концевые точки  не выходят на внешнюю границу Г и являются вершинами трещины. Обозначим

Выберем вектор единичной нормали  на  и вектор единичной внешней нормали  к Г. В этом случае можем говорить о нижнем (отрицательном)  и верхнем (положительном)  берегах трещины .

Для вектора перемещений

и тензор напряжений

где  и по повторяющимся индексам ведется

суммирование.

Пусть заданы вектор–функции объемных , и поверхностных  сил. При чем поверхностные силы действуют противоположно друг другу и направленные к центру.

В работе рассматривается следующая краевая задача:

                                              (1)

В ограниченной области  з для участка

                                    (2)

для которых

  где

Для области с трещиной рассмотрим вариационную задачу, соответствующую задаче (1)(2). Определим множество допустимых перемещений:

в котором . Значение функции  . Так как, если  ограниченная липшицева область с границей , то существует линейный непрерывный оператор следа, действующий из  в , где норма в пространстве , определяется следующим образом [8, c 12]:

Далее нам будет необходимо пространство

с нормой  где  (см. [8, с. 53]). Отсюда получим вариационную задачу, соответствующую краевой задаче (1)(2):

          (3)

Задача (3) равносильна вариационному неравенству:

     (4)

Численное решение задачи методом конечных элементов

Для решения задачи с трещиной применялась схема двойственности, основана на модифицированном функционале Лагранжа. Сходная схема двойственности для решения скалярной модельной задачи с трещиной ранее была подробно исследована в работах [7, 2, 3].

Область  представляет собой квадрат со сторонами равными единице и параметрами трещины  В алгоритме, полученном в работе [3. стр. 14], на каждой итерации вычислительного процесса рассматривается задача минимизации сильно выпуклого функционала,

                          (5)

для решения этой задачи, воспользуемся методом конечных элементов. Для этого разбиваем область  на треугольники  с помощью триангуляции Делоне (рис. 2) таким образом, что , где  количество треугольников. В окрестности трещины  происходит сгущение триангуляции. Так мы получаем состоящий из треугольников, имеющих в узле общую вершину триангуляции, конечный элемент.

Рисунок 2. Триангуляция Делоне области

Пронумеруем все узлы триангуляции в области  сверху от  Для каждого  узла определена базисная функция такая что , а для всех соседних узлов  ,функция  В качестве же базисных возьмем кусочно-линейную функцию [6].

Далее нам понадобятся следующие обозначения: максимальня длина стороны среди всех ,  множество узлов триангуляции, , множество всех узлов триангуляции на , линейная оболочка базисных функций   кусочно–линейное восполнение точного решения u:

            (6)

Так как область квадрат (многоугольник), то линейная оболочка базисных функций  обеспеченно вложена в пространство , т.е. Отсюда следует что мы можем заменить задачу минимизации функционала, полученной в работе заменить задачей для конечного элемента:

Далее введем вектор , в котором первые его  компонент соответствуют значениям , а последние  соответствуют . В таком случае, задача минимизации для конечного элемента (6) сводится к нахождению оптимальных значений . Для узлов на трещине заменим переменные  где  и далее находим это оптимальное значение . Для решения задачи (6) в конечно – элементном приближении осуществлялась аппроксимация граночного интеграла по  с помощью квадратурной формулы трапеций. Далее задача решается методом покоординатного спуска.

Поиск решений для метода покоординатного спуска завершается, сразу, как только выполняется условие:

Для метода Удзавы критерий останова принимает следующий вид:

Параметры для численного решения поставленной задачи возьмем следующими:  поверхностное усилие с верхней

, нижней и правой сторон . Коэффициент Пуассона  коэффициент рения , модуль упругости Юнга , параметр  

На рис. 3 показаны значения  при различных боковых усилиях с правой стороны, где ={-20 МПа, -25 Мпа, -30 МПа}. Увеличение силы  по модулю соответствует взаимному удалению значений берегов трещины  от оси

По результатам можно увидеть, что в нелинейной задаче с трещиной отсутствует взаимное проникновение берегов друг в друга. Таким образом численные расчеты доказывают эффективность решения математические задачи с нелинейными краевыми условиями вида неравенств с использованием модифицированных функционалов Лагранжа.

Рисунок 3. График функции

Список литературы:

1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1990.
2. Вихтенко Э.М., Намм Р.В. О методе двойственности для решения модельной задачи с трещиной// Тр. ИММ Уро РАН.–2016. – Т.22, №1 .–С. 36–34.
3. Вихтенко Э.М., Намм Р.В. Методы решения полукоэрцитивных вариационных неравенств механики на основе модифицированных функционалов Лагранжа // Дальневосточ. мат. журн.–2014.–Т. 14б №1. – С. 6–17.
4. Вторушин Е.В. Численное исследование модельной задачи деформирования упругопластического тела с трещиной при условии возможного контакта берегов // Сиб. жирун. выч. Математики / РАН. Сиб. отд-ние – Новосибирск, 2006. –Т.9, №4. – С. 335–344.
5. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. – М.: Мир, 1984.
6. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно–сеточные методы. – М.: Физматлит, 1981.
7. Намм Р.В., Цой Г.И. Модифицированная схема двойственности решения упругой задачи с трещиной // Сиб. жирун. выч. Математики / РАН. Сиб. отд-ние – Новосибирск, 2017. Т.20, № 1. – С.37–58.
8. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. – М.: Физматлит, 2010.