СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБЩЕЙ РЕШЁТКИ ДЛЯ ДЕВЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ НА МНОЖЕСТВЕ ИЗ ПЯТИ ЭЛМЕНТОВ, ИМЕЮЩИХ ВЕРНХНЮЮ И НИЖНЮЮ ГРАНИЦУ.

В данной работе исследуется метод построение решётки для девяти элементов: a,b, c, a˅c, b˅c, a˄c, b˄c, a˄ (b˅c), b˅(a˄c), при условии, что b<a и аксиомы теории решётки действительны. Целью работы является доказательство существование такой решётки и построение её диаграмм.

Определение: Решётка — чaстичнo yпоpядoченнoe мнoжecтвo, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств .

Определение: Алгебра <L˄,˅> называется решёткой, если L- непустое множество, а ˄ и ˅- бинарные отношения операций на L, которые идемпотентны, коммутативны, ассоциативны и удовлетворяют двум тождествам поглощения.

Вспомогательные теоремы:

для того, чтобы доказать существование общей решётки для девяти элементов на множестве из пяти элементов, имеющих верхнюю и нижнюю границу, выведем вспомогательные леммы, на которые будем опираться при преобразованиях выражений.

Лемма 1. (L1) Идемпотентность:a˄a=a; a˅a=a

Лемма 2. (L2) Коммутативность: a˄b=b˄a; a˅b=b˅a

Лемма 3. (L3) Ассоциативность: (a˄b)˄ c=a˄ (b˄c)

                                                      (a˅b) ˅ c=a˅ (b˅c)

Лемма 4. (L4) Тождества поглощения: a˄ (a˅b)=a , a˅ (a˄b=a)

Введение.

В первой половине девятнадцатого века попытка Джорджа Буля формализовать пропозициональную логику привела к понятию булевой алгебры. Исследуя аксиоматику булевых алгебр в конце девятнадцатого века, Чарльз Пирс и Эрнст Шрёдер сочли полезным ввести понятие решётки. Независимо от них, Ричард Дедекинд, в своих исследованиях по идеалам алгебраических чисел пришёл к тому же самому понятию. На самом деле Дедекинд ввёл также модулярность, ослабленную форму дистрибутивности. Хотя некоторые из ранних результатов этих математиков очень элегантны и нетривиальны, они не привлекли внимание математической общественностей.

И только работы Гаррета Биркгофа в середине 30-х годов дали толчок общему развитию теории решёток. В блестящей серии работ он продемонстрировал важность теории решёток и показал, что она является унифицирующим каркасом для доселе разрозненных достижений во многих математических дисциплинах. Сам Биркгоф, Валерий Иванович Гливенко, Карл Мингер,  Джон фон Нейман, Ойстейн Оре и другие достаточно продвинулись в этой области, чтобы Биркгоф мог сделать попытку "подать" её широкой математической общественности, что он и сделал с удивительным успехом в первом издании своей монографии "Lеttice theory".

Цель данной работы формулируется очень просто: доказать существование "самой общей решётки" для девяти элементов. На наш взгляд, дистрибутивные решётки сыграли многогранную роль в развитии теории решёток. Исторически теория решёток началась с (булевых) дистрибутивных решёток; в результате теория дистрибутивных решёток представляет одну из наиболее обширных и одну наиболее удовлетворительных глав теории решёток. Дистрибутивные решётки проясняют и обосновывают многие результаты общей теории решёток. Многие условия на решётки, а также элементы и идеалы решёток являются ослабленными формами дистрибутивности. Поэтому глубокое знание дистрибутивных решёток неоценимо при работе в теории решёток. Наконец, во многих приложениях на решётки, возникающие в различных областях математики, и особенно алгебры, налагается условие дистрибутивности.

Общий вид решётки из 5 элементов с условием сравнимости двух промежуточных элементов.

Будем использовать обозначения:

ab=inf{a,b}                               ab=sup{a,b}

и будем называть «»– пересечением, а «»-объединением. В решётках они являются бинарными операциями, которые, будучи применены к паре элементов a,bL, снова дают элемент из L.

Операции  идемпотентны, коммутативны и ассоциативны, т.е обладают следующими свойствами:

(L1) Идемпотентность:a˄a=a; a˅a=a

(L2) Коммутативность: a˄b=b˄a; a˅b=b˅a

(L3) Ассоциативность: (a˄b)˄ c=a˄ (b˄c)

                                        (a˅b) ˅ c=a˅ (b˅c)

(L4) Тождества поглощения: a˄ (a˅b)=a , a˅ (a˄b=a)

Описание решёток:

Конечную решётку можно всегда описать с помощью таблицы пересечений и таблицы объединений.

Например: Пусть L={0,a,b,1}

Мы видим, что большая часть информации приведённой в таблицах, является лишней. Т.к. обе операции коммутативны, то таблицы симметричны относительно главной диагонали. Более того, x˄x=x, x˅x=x ,поэтому главные диагонали не несут в себе новой информации. Таким образом, две таблицы можно собрать в одну:

Другой способ описания решётки состоит в описании частичного порядка, т.е. множества всех таких <x,y>, что xy.В предыдущем примере получаем:

={(0,0),(0,a),(0,b),(0,1),(a,a),(a,1),(b,b),(b,1),(1,1)}

Очевидно, все пары вида (x,x) можно не включать в список, т.к. мы знаем, что xx.Мы также знаем, что если x y и y z, то x z .Например, когда мы знаем, что 0a и a 1,то нам не надо указывать, что 0 1. Уточним нашу идею; будем говорить, что в частично упорядоченном множестве (P; ) a покрывает b или b покрывается элементом a (и обозначать это так: a b или ba ), если a>b и не существует x, такого, что a>x>b

Отношение покрываемости в предыдущем примере имеет вид:

                                                          ={(0,a),(o,b),(a,1),(b,1)}.

Диаграммы.

На диаграмме частично упорядоченного множества (P; ) элементы изображаются в виде маленьких кружков; кружки, соответствующие элементам x,y, соединяются прямой линией тогда и только тогда, когда один из них покрывает другой, если x покрывает y, то кружок соответствующий элементу x ,помещается выше кружка соответствующего элементу y [2].

Постановка проблемы:

Пусть решётка имеет пять элементов 0,a,b,c,I и b<a, cb=I, ac=0.

Покажем, что девять элементов a,b, c, a˅c, b˅c, a˄c, b˄c, a˄ (b˅c), b˅(a˄c) образуют решётку. Изобразим общий её вид. Надо доказать, что из них при помощи операций объединения и пересечения мы не получим новых элементов. Мы должны проверить тридцать шесть объединений и тридцать шесть пересечений:

Рисунок 1. Диаграмма (общий вид) решётки для девяти элементов.

Таблица 1.

Матрица для операции "˅"

1. b˅a=a, ( т.к.a>b)
2. a˅b=a˅c (L2)
3. c˅b=b˅c (L2)
4. (a˅c) ˅a=a˅a˅c=a˅c (L2,L1)
5. (a˅c) ˅b=a˅b˅c=a˅c (L2,L1)
6. (a˅c) ˅c=a˅c (L2, т.к. a>b)
7. (b˅c) ˅a=b˅a˅c=a˅c (L2,L1)
8. (b˅c) ˅b=b˅b˅c=b˅c
9. (b˅c) ˅c=b˅c
10. (b˅c) ˅(a˅c)=b˅a˅c˅c=a˅c (L1,L4)
11. (a˄c) ˅a=a (L4)
12. (a˄c) ˅b=b˅ (a˄c) (L2)
13. (a˄c) ˅c=c (L4)
14. (a˄c) ˅a˅c=a˅c (L4,L2)
15. (a˄c) ˅ (b˅c)=(a˄c) (по свойствам дистрибутивности, L4)
16. a˅ (b˄c)= b˄c (L4)
17. (b˄c) ˅b=b (L4)
18. (b˄c) ˅c=c (L4)
19. (b˄c) ˅a˅c=(b˄c) ˅c˅a=a˅c (L2,L4)
20. (b˄c) ˅(b˅c)=b˅c (L4)
21. (b˄c) ˅(a˄c)= a˄c (L2)
22. b˅(a˄c) ˅a=a˅b˅(a˄c)a˅(a˄c)=a (т.к. a>b, L2,L4)
23. b˅(a˄c) ˅b=b˅b˅(a˄c)=b˅(a˄c) (L1,L2)
24. b˅(a˄c) ˅c=b˅c (L4)
25. b˅(a˄c) ˅a˅c=b˅a˅c˅(a˄c)=a˅c (т.к. a>b, L2,L4)
26. b˅(a˄c) ˅b˅c=b˅b˅c˅(a˄c)=b˅c (L1,L2)
27. b˅(a˄c) ˅(a˄c)=b˅(a˄c) (L1,L2)
28. b˅(a˄c) ˅(b˄c)=b˅(b˄c) ˅(a˄c)=b˅(a˄c) (L2,L4)
29. (a˄ (b˅c)) ˅a=a (L4)
30. (a˄ (b˅c)) ˅b=(b˅a) ˄ (b˅(b˅c))=a˄ (b˅c) (L1, т.к.a>b)
31. (a˄ (b˅c))˅c=(a˅c) ˄ (b˅c˅c)=(a˅c) ˄ (b˅c)=(a˅c)˄( c˅b)=b˅c(L2, L4)
32. (a˄ (b˅c)) ˅(a˅c)=a˅c  (L4,по свойствам дистрибутивности)
33. (a˄ (b˅c)) ˅(b˅c)=b˅c  (L4)
34. (a˄ (b˅c)) ˅(a˄c)= a˄ (b˅c) (L1,L2)
35. (a˄ (b˅c)) ˅( b˄c)= a˄ (b˅c) (L4)
36. (a˄ (b˅c)) ˅( b˅(a˄c))= b˅(a˄c) (L1,L2)

Таблица 2.

Матрица для операции "˄"

1. a˄b=b(т.к a>b)
2. c˄a=a˄c (L2)
3. c˄b=b˄c(L2)
4. (a˅c)˄a=a (L4)
5. (a˅c)˄b=(a˄b) ˅(c˄b)=b˅(c˄b)=b (т.к a>b , L4)
6. (a˅c)˄c=c(L4 )
7. (b˅c)˄a=a˄(b˅c) (L2)
8. (b˅c)˄b=b (L4)
9. (b˅c)˄c=c (L4)
10. (b˅c)˄(a˅c)=((b˅c)˄a) ˅((b˅c)˄c)=((b˅c)˄a) ˅c=b˄a˅(c˄a) ˅c=b˅c( т.к a > b, L4, по свойствам дистрибутивности)
11. (a˄с)˄a=a˄a˄c=a˄c (L2,L1)
12. (a˄c)˄b=a˄b˄c=b˄c (т.к a>b, L2)
13. (a˄c)˄c= a˄c (L1)
14. (a˄c) ˄(a˅c)=(a˄c˄a) ˅(a˄c˄c)=(a˄c) ˅(a˄c)=a˄c (L1)
15. (a˄c)˄(b˅c)=a˄c
16. (b˄c)˄a=b˄a˄c=b˄c (т.к a>b, L2)
17. (b˄c)˄b=b˄b˄c=b˄c (L2, L1)
18. (b˄c)˄=b˄c (L1)
19. (b˄c)˄(a˅c)=(b˄c˄a) ˅(b˄c˄c)=(b˄c) ˅(b˄c)=b˄c (по свойствам дистрибутивности)
20. (b˄c)˄(b˅c)=(b˄c˄b) ˅(b˄c˄c)=(b˄c) ˅(b˄c)= b˄c (по свойствам дистрибутивности и L1)
21. (b˄c)˄(a˄c)=b˄a˄c˄c=b˄c (L2, т.к a>b, L1)
22. (b˅(a˄c))˄a=((a˄c) ˅(b˄a)=(a˄c) ˅b (L2, т.к a>b)
23. (b˅(a˄c))˄b=b (L4)
24. (b˅(a˄c))˄c=a˄c (L4, по свойствам дистрибутивности)
25. (b˅(a˄c))˄(a˅c)=b˅(a˄c) (L4)
26. (b˅(a˄c))˄(b˅c)=(b˅c)˄b˅(a˄c˄b˄c)=b˅(a˄b˄c˄c)=b˅(a˄c) (т.к a>b, L1)
27. (b˅(a˄c))˄(a˄c) =a˄c (L4)
28. (b˅(a˄c))˄(b˄c)=(b˄c˄c) ˅(a˄b˄b˄c)=(b˄c) ˅(b˄b˄c)=(b˄c) ˅(b˄c)=b˄c (L2,L1, т.к a>b)
29. (a˄(b˅c))˄a=a˄a˄(b˅c)=a˄(b˅c) (L1, L2 по свойствам дистрибутивности)
30. (a˄b(b˅c))˄b=a˄b˄(b˅c)=b˄(b˅c)=b (т.к a>b , L4)
31. (a˄(b˅c))˄c=((a˄c)˄)b˅c=a˄c (L4)
32. (a˄(b˅c))˄(a˅c)=a˄(a˅c)˄(b˅c)=a˄(b˅c) (L2, L4)
33. (a˄(b˅c))˄(b˅c)= a˄(b˅c) (L1)
34. (a˄(b˅c))˄(a˄c)=a˄a˄c(b˅c)=a˄c (L1, L2, L4)
35. (a˄(b˅c))˄(b˄c)= a˄b˄c=b˄c (т.к a>b, L4)
36. (a˄(b˅c))˄(b˅(a˄c))=(a˄(b˅c)˄b) ˅ ˅(a˄(a˄c)˄(b˅c)=(a˄b)˅(a˄c)=b˅(a˄c) (т.к a>b, L4,L1)

Заключение

Проведя алгебраические преобразования и составив по результатам матрицы, мы пришли к выводу, что возможно построение общей решётки для девяти элементов, т.к. новых элементов получено не было. Тем самым доказательство теории решёток для данных условий на девяти элементах a,b, c, a˅c, b˅c, a˄c, b˄c, a˄ (b˅c), b˅(a˄c), при условии что b<a и аксиом теории решётки верно.

Список литературы:

1. Биркгоф Г. Общая теория решёток. М.: Мир, 1984. 101 с.
2. Гретцер Г. Общая теория решёток. М.: Мир, 1982. 28-29 с.