АЛГОРИТМ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ КОГНИТИВНЫХ КАРТ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА

Прогнозирование многомерных временных рядов является важной задачей, решаемой во многих областях науки и техники. Множество разнообразных моделей было создано для задач прогнозирования на основе искусственных нейронных сетей, статических методов, регрессионных методов, динамических байесовских сетей, систем нечеткого вывода. Нечеткие когнитивные карты (НКК) можно рассматривать как параметрические модели прогнозирования, которые могут обучаться на основе исторических данных. Важнейшей особенностью НКК является простота, прозрачность и удобство доработки с использованием экспертов.

Нечёткая когнитивная карта представляет собой нечеткий ориентированный граф с обратными связями, вершины которого могут быть представлены нечеткими множествами. Направление дуг графа отражает причинно-следственные связи между узлами графа и определяет степень влияния (веса) связываемых узлов, принимающих значения от –1 до 1. Вершины графа также называют концептами, они отображают понятия модели, которые демонстрирует НКК.

На рисунке 1 приведен пример нечеткой когнитивной карты. Данная карта моделирует выращивание зеркальных карпов в резервуаре со стабильными условиями их развития в период от года до года и трех месяцев, при различных режимах питания. Показанная на рисунке 1 карта позволяет прогнозировать значения концептов: “Корм №1”, “Корм №2”, “Вес карпов”, “Насыщенность воды кислородом”, “Показатель микрофлоры”.

Рисунок 1. НКК выращивания карпов

Для прогнозирования значений многомерного временного ряда на основе НКК предлагается алгоритм, схема которого приведена рисунке 2. Рассмотрим основные блоки данного алгоритма.

В первом блоке происходит считывание исторических данных. В данном алгоритме историческими данными называют массив со значениями концептов, измеренными через одинаковые интервалы времени.

Рисунок 2. Схема алгоритма прогнозирования многомерного временного ряда на основе НКК

Во втором блоке происходит фаззификация данных. В данном алгоритме фаззификация сводится к нормализации:

,                                                (1)

где  – нормализованное значение концепта  в момент времени ,  –историческое значение концепта,  – минимальное значение и  – максимальное значение концепта, ,  – количество концептов. Стоит заметить, что при данном подходе к фаззификации отсутствуют нечеткие значения концептов, что упрощает построение карт. Построение такой НКК можно наблюдать во многих работах, например, в [2].

В третьем блоке выполняется ввод основных параметров. Под основными параметрами понимается: размер популяции, количество итераций (используется в блоке шесть), допустимое значение функции пригодности и коэффициент масштабирования (используется в функции пригодности). В данном случае размер популяции – это количество карт-кандидатов, используемых во время выполнения алгоритма, являющегося разновидностью генетического. Карта-кандидат – одна из множества обучаемых НКК в популяции, которая в двадцать третьем блоке может быть выбрана в качестве прогнозирующей модели.

В четвертом блоке происходит генерация карт-кандидатов (инициализация популяции). В алгоритме в качестве хромосом выступают карты-кандидаты, содержащие обучаемые вектора вещественных чисел. Длина вектора соответствует числу дуг НКК. Каждый элемент вектора называется геном, а его значение задается случайным образом согласно равномерному закону распределения.

В девятом блоке происходит селекция карт-кандидатов. В качестве метода селекции в данном алгоритме используется комбинация турнирного метода и метода «рулетки» [1], хотя возможно использование и других методов.

В десятом блоке выполняется операция кроссовера. Могут быть использованы различные методы кроссовера, но в данном алгоритме применяется одноточечный кроссовер [1].

В одиннадцатом блоке выполняется мутация. В данном алгоритме применяется случайная мутация [1].

В блоке пятнадцать выполняется прогнозирование следующего значения концепта выбранной карты-кандидата. Для прогнозирования используется следующее выражение:

                                   ,                       (2)

где  – значение концепта  на шаге прогнозирования ,  –значение понятия  на шаге ,  – вес дуги между концептами  и ,  –значение шага прогнозирования, , где  – количество концептов,  – функция активации. В данном алгоритме используется сигмоидальная функция:

                                                ,                                                  (3)

где  – параметр наклона сигмоидальной функции, который гарантирует, что расчетное значение каждого концепта будет принадлежать требуемому интервалу (–1, 1).

В восемнадцатом блоке выполняется вычисление функции пригодности выбранной карты-кандидата. Вычисляется она следующим образом:

                                                        ,                                            (4)

где  – коэффициент масштабирования,  – ошибка прогнозирования. В данном алгоритме ошибка прогнозирования вычисляется согласно формуле:

                                  ,                           (5)

где  ,  – длина обучающей выборки,  – наблюдаемое значение концепта в момент времени ,  – прогнозируемое значение,  – количество концептов. Под функцией пригодности в данном алгоритме понимается формула масштабирования ошибки прогнозирования:

В блоке двадцать один осуществляется или прогнозирование значений концептов карты, для которой выполняются условие из блока двадцать или прогнозирование с использованием карты с наилучшим показателем функции пригодности, если не выполняется условие из блока шесть. Также, результатом данного блока является выделение НКК, способной эффективно предсказать значение многомерного временного ряда.

Таким образом, предложен алгоритм прогнозирования многомерных временных рядов на основе нечеткой когнитивной карты с использованием генетического подхода. Сопутствующим результатом использования разработанного алгоритма является построение и настройка нечеткой когнитивной карты, позволяющей провести анализ непосредственной и опосредованной взаимосвязи векторов многомерного временного ряда, а также сократить время прогнозирования при повторном применении данного алгоритма с другими историческими данными.

Список литературы:

1. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Пер. с польск. И.Д. Рудинского. – М.: Горячая линия – Телеком, 2006. – 382 с.
2. Juszczuk P., Froelich W., “Learning fuzzy cognitive maps using a differential evolution algo­rithm”, Pol. J. Environ. Stud., vol. 12(3B), pp. 108–112, 2009.