ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СМЕШАННОЙ СИСТЕМЫ РАЗМЕРНОСТИ ЧЕТЫРЕ

Рассматривается линейная управляемая система

                                             (1)

или, в матричной форме,

где  – вектор,  и  - постоянные матрицы системы (не зависящие от времени ).  – некоторое множество, которому должно принадлежать значение управление  в каждый момент времени . Таким образом,  задает ограничения на управления. Вектор  характеризует состояние управляемого объекта.

Матрица, сопряженная к матрице  записывается в виде

.

Если задано управление , то система (1) определяет систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Предполагается, что управления принимают значения в отрезке ., т.е. .

Для описания оптимальных управлений найдем матрицу , которая равна

Матрицы  и  соответственно равны

Система, сопряженная к системе (1) записывается в виде

                                              (2)

Общее решение сопряженной системы записывается в виде

Для описания оптимальных управлений используем принцип максимума Понтрягина [4]. Принцип максимума Л.С. Понтрягина – один из основных инструментов решения задач оптимального управления систем.

Если управление  оптимально по быстродействию, то существует решение  сопряженной системы, для которого

                                                                       (3)

В случае системы (1)

              (4)

Из (3) и (4) следует, что по заданному, не равному нулю, решению системы (2) строится оптимальное управление  по формуле

Выражение   можно записать в виде , получаем

1) Пусть  = 10,  = 0,  = 1,  = 0, тогда общее решение сопряженной системы выглядит следующим образом

По принципу максимума Понтрягина при u = 1

Построим график функции .

Рисунок 1. График функции

По рисунку можно увидеть, что соответствующее управление имеет 7 точек переключения.

2) Пусть  = 1,  = 1,  = 0,  = 0, тогда общее решение сопряженной системы выглядит следующим образом

По принципу максимума Понтрягина

.

Построим график функции .

Рисунок 2. График функции

Соответствующее управление имеет бесконечно много точек переключения.

Исходя из приведенных примеров, можно сделать следующие выводы:

1) Если константы  и равны 0, a , то соответствующее оптимальное  управление имеет бесконечно много точек переключения.

2) Если константы  и равны 0, то соответствующее оптимальное управление имеет одну точку переключения, если . Если , то соответствующее оптимальное управление постоянно.

3) Если хотя бы одна из констант  не равна 0, то соответствующее оптимальное  управление имеет конечное число точек переключения, зависящее от . Чем меньше , тем будет больше точек переключения.

Список литературы:

1. Александров, В.В., Болтянский, В.Г. Оптимизация динамики управляемых систем. - М.: Изд-во МГУ, 2000. - 231 с.
2. Андреева Е.А., Бенке Х. Оптимизация управляемых систем. Тверь, Изд. ТГУ, 1996.
3. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., Наука, 1972. - 576 с.
4. Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении.  Мехмат МГУ, 2004.
5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.  М., Наука, 1961.