МЕТОД ШТУРМА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Изучение вопроса о вычислении корней полиномов когда-то составляло основное содержание высшей алгебры. В прикладных задачах важную роль играет также задача аппроксимации вещественных корней полинома путем указания их достаточно точных границ.

В данной статье рассматривается решение такого вопроса с помощью метода Штурма.

Для начала рассмотрим вопрос о границах действительных корней.

Существует несколько способов их нахождения. Изложим некоторые.

Пусть дан многочлен  степени  пусть  будет верхней границей его положительных корней. Рассмотрим многочлены

и найдем верхние границы их положительных корней; допустим это будут соответственно числа , , . Тогда все положительные корни многочлена  удовлетворяют неравенствам , все отрицательные корни  неравенствам

Для определения верхней границы положительных корней можно применить метод Ньютона.

Пусть дан многочлен с действительными коэффициентами и положительным старшим коэффициентом  Если при  многочлен  и все его последовательные производные  принимают положительные значения, то число  служит верхней границей положительных корней.

Пример. Применим метод Ньютона к многочлену . Мы имеем:

Все эти многочлены положительны при , что легко проверить хотя бы методом Горнера. Следовательно, число  есть верхняя граница положительных корней многочлена .

Рассмотрим многочлен  для нахождения нижней границы отрицательных корней исходного полинома  (мы берем  вместо  потому, что для применимости метода Ньютона старший коэффициент должен быть положительным, на корни многочлена  эта перемена знака не оказывает никакого влияния). Так как

а все эти многочлены положительны при , то число  служит верхней границей положительных корней для , и поэтому число  будет нижней границей отрицательных корней для .

Рассматривая, наконец, многочлены

мы найдем для них, применяя метод Ньютона, в качестве верхних границ положительных корней соответственно числа 1 и 4, а поэтому нижней границей положительных корней многочлена  служит число , верхней же границей отрицательных корней  число .

Следовательно, положительные корни многочлена  расположены между числами  и , отрицательные корни  между числами  и . [1, с. 244-246]

Определение 1. Конечная упорядоченная система отличных от нуля многочленов с действительными коэффициентами

где все многочлены, начиная с , являются остатками от деления двух предыдущих, взятых с противоположным знаком, называется системой (рядом) Штурма для многочлена , если выполняются следующие условия:

1. Любые два соседних полинома системы не имеют общих корней.
2. Если  действительный корень промежуточного полинома  системы, то предыдущий и последующий полиномы имеют разные знаки.
3. Если  действительный корень многочлена , то произведение  меняет знак с минуса на плюс, когда , возрастая, проходит через точку .
4. Последний полином системы не имеет вещественных корней.

Пусть дана конечная упорядоченная система действительных чисел, отличных от нуля, например:

Выпишем знаки этих чисел последовательно:

В системе  трижды рядом стоят противоположные знаки. Поэтому говорят, что в упорядоченной системе  имеют место три перемены знаков.

Определение 2. Число, равное разности между числом перемен знаков в значениях многочленов ряда Штурма при  и при  называется характеристикой пары многочленов .

Правило нахождения числа корней многочлена связано с характеристикой пары многочленов и звучит так:

Для того чтобы найти число корней многочлена (не имеющего кратных действительных корней), расположенных между  и , надо найти ряд Штурма для многочлена и его производного многочлена и вычислить значения многочленов этого ряда при   и при . Разность между числом перемен знаков в первом и втором рядах чисел и будет искомым числом корней.

Это правило является знаменитой теоремой Штурма. [2, с. 19]

Таким образом, для определения числа вещественных корней многочлена , расположенных между  и , нужно установить, насколько уменьшается число перемен знаков в системе Штурма данного многочлена при переходе от  к .

Для того чтобы воспользоваться теоремой Штурма для нахождения общего числа действительных корней многочлена  рассматривают интервал .

Расмотрим применение метода Штурма на примере.

Найдем число корней многочлена  и укажем их границы.

Для применения метода Штурма к многочлену  требуется составить систему (ряд) Штурма.

Замечание. Многочлен  должен иметь действительные корни и не иметь кратных корней.

Правило построения системы Штурма:

1. .
2. Если известны  и , то  будет равен остатку от деления  на , взятым с противоположным знаком: .

Замечание. В процессе деления остаток можно умножать лишь на произвольное положительное число, т. к. знак остатка важен.

Получим систему Штурма:

;

;

;

;

.

Определим знаки этих многочленов при  и . Для этого достаточно посмтореть на коэффициенты при старших степенях и на сами эти степени.

Занесем результаты выводов в таблицу №1.

Таблица 1.

Знаки многочлена  и его производных в бесконечно удаленных точках.

Многочлен имеет  действительных корня.

Найдем их границы. Продолжим таблицы, выбрав “на глаз” точки для проверки знаков многочленов системы. Первую точку берем такую, чтобы набор плюсов и минусов был одинаков с , а последующие выгодны такие, при которых количество перемен знаков изменяется, причем таких перемен должно быть ровно столько, сколько корней имеет многочлен.

Таблица 2.

Знаки многочлена  и его производных в действительных точках.

Таким образом, система Штурма многочлена  теряет по одной перемене знаков при переходе  от  к  и от  к . Корни  и  этого многочлена удовлетворяют, следовательно, неравенствам:

Список литературы:

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. – 431 с.
2. Шафаревич И.Р. О решении уравнений высших степеней (метод Штурма), государственное издательство технико – теоретической литературы. Москва, 1954. – 24 с.