О НЕКОТОРЫХ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ (ИЕНСЕНА, ГЮЙГЕНСА, КИ ФАНА)

​ON SOME REMARKABLE INEQUALITIES (JENSEN, HUYGENS, KI FAN)

Robiyakhon Bokhovodinova

Student, Department of Higher Mathematics and Informatics, Surgut State Pedagogical University,

Russia, Surgut

Sabilya Kurmanova

Scientific Supervisor, Senior Lecturer, Surgut State Pedagogical University,

Russia, Surgut

АННОТАЦИЯ

Неравенство – соотношение чисел или величин, указывающее какое из них больше или меньше другого. Доказать неравенство, содержащие некоторые неизвестные – значит показать, что ему удовлетворяют любые допустимые или специально указанные значения неизвестных. Поиск наиболее рациональных способов доказательства неравенств привел к появлению опорных (замечательных) неравенств, которых современной науке известно много. И некоторым из них посвящена данная статья.

ABSTRACT

Inequality - a ratio of numbers or quantities, indicating which of them is greater or less than the other. To prove an inequality containing some unknowns means to show that it is satisfied by any admissible or specially specified values ​​of the unknowns. The search for the most rational ways of proving inequalities has led to the emergence of supporting (remarkable) inequalities, of which there are many known to modern science. And this article is devoted to some of them.

Ключевые слова: доказательство неравенства, неравенство Иенсена, неравенство Гюйгенса, неравенство Ки Фана.

Keywords: proof of inequality, Jensen's inequality, Huygens' inequality, Ki Fan's inequality.

Как писал Д. Пойа: «Пределы математики – это вся область доказательных рассуждений, случаев возникновения к любой науке, достигшей такого уровня развития, в соответствии с основными положениями этой научной конструкции в абстрактной форме» [6]. Сущность доказательства заключается в том, что каждое составляющее его предложение, за исключением исходных, следует из предшествующего ему предложения по какому-либо логическому правилу.

Анализ научной математической литературы показал, что существует множество методов решения задач на доказательства неравенств, которые представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Методы решения задач на доказательство

Алгебраические неравенства доказываются при помощи различных способов, которые используются равносильные преобразования и свойства числовых неравенств [3]

Один из самых интересных методов – доказательство при помощи классических (специальных, опорных) неравенств. Математической науке известны многие, например, такие, как неравенства Гѐльдера, Гѐльдера – Минковского, Коши – Гельдера, Чебышева, Х. Альцера. Часто встречаются неравенства Коши (иногда называемый Коши-Шварца), Бернулли, Коши-Буняковского, представленные ниже [2]:

— неравенство Коши (или Коши — Шварца), где  — неотрицательные числа:

— неравенство Коши-Буняковского для любых действительных чисел  ( — натуральное число, больше 1) справедливо неравенство:

— неравенство Бернулли, где  (равенство достигается лишь тогда, когда  или ):

 .

Но известны и другие не менее замечательные неравенства Иенсена, Гюйгенса, Ки Фана. Рассмотрим их чуть подробнее.

Для функции , выпуклой на промежутке , справедливо неравенство:

где  – положительные числа, удовлетворяющие условию

Это неравенство называется неравенство Иенсена [4]. Равенство будет иметь место лишь тогда, когда .

Неравенство можно переписать в эквивалентной форме

где

Нидерландский математик и механик Гюйгенс (1629–1695) доказал неравенство:

где  – положительные числа и  – набор весов, удовлетворяющих условию

При  неравенство переходит в неравенство

которое называется обобщенным неравенством Гюйгенса.

Неравенство Гюйгенса чаще всего используют в виде

где

Если в неравенство Гюйгенса положить , где то получаем полезное для практики неравенство

Равенство в неравенстве Гюйгенса достигается, когда все числа  равны. Это вытекает из условия в неравенстве Коши.

Рассмотрим неравенство Ки Фана.

где  – среднее гармоническое;

 – среднее геометрическое;

– среднее арифметическое

Для положительных чисел  и аналогичные средние

 положительных чисел .

Исходя из этого можно сделать замечание о том, что неравенство Ки Фана [5] является следствием неравенства Иенсена.

Практическое применение в доказательстве неравенств.

Задача 1. Докажите неравенство с помощью неравенства Иенсена [4]

Доказательство

Запишем неравенство Иенсена для выпуклой функции ;

Домножив обе части неравенства на  получим

Далее следует заменить , .

Что и требовалось доказать.

Задача 2. Докажите неравенство [1]

Доказательство

Применим неравенство Гюйгенса:

и тогда получим

Что и требовалось доказать.

Задача 3. Докажите неравенство [5]

Доказательство

Заданному неравенству равносильно следующее

поэтому достаточно установить последнее. Для этого применим простое неравенство Ки Фана:

Что и требовалось доказать.

Подводя итоги работы над статьей были рассмотрены теоретические основы доказательства неравенств, рассмотрена типология задач на доказательство, приведены примеры доказательства неравенств с помощью таких замечательных неравенств, как неравенства Иенсена, Гюйгенса и Ки Фана.

Список литературы:

1. Балаян, Э. Н. Сборник задач по математике для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам: задачи повышенной сложности: 9–11 классы. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. – 412 с.
2. Далингер, В. А. Классические неравенства и решение задач с их использованием: учебное пособие / В. А. Далингер – Омск : Изд-во «Амфора», 2013. – 130 с.
3. Журавлевская, Д. А. Задачи на доказательство / Д. А. Журавлевская // Актуальные вопросы современных исследований : Материалы Международной (заочной) научно-практической конференции, Кишинев, Молдавия, 09 июня 2020 года / Под общей редакцией А.И. Вострецова. – Кишинев, Молдавия: Научно-издательский центр "Мир науки" (ИП Вострецов Александр Ильич), 2020. – С. 8-22.
4. Ижболдин, О., Курляндчик, Л. Неравенство Иенсена // Квант. – 2000. – № 4. – С. 9–10.
5. Калинин, С. И. Неравенство Ки Фана // Математика в школе. – 2004. – № 8. – С. 69–72.
6. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Перевод с английского И. А. Вайнштейна, Под редакцией С. А. Яновской – М.: Изд-во «НАУКА», 1975 – 464 с.