МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ПАРАДОКСОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

MODELING AND ANALYSIS OF THE PARADOXES OF PROBABILITY THEORY

Kravchenko Anastasia Vladimirovna

student gr. 473904, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Sidorenko Ekaterina Sergeevna

student gr. 473904, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Fedosyuk Lyudmila Petrovna

scientific supervisor, senior lecturer at the Department of Economics. Computer Science, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

Классические парадоксы теории вероятностей – парадокс двух конвертов, Петербургский – возникают из-за ошибок в вероятностных рассуждениях, некорректного использования случайных величин и влияния скрытых переменных. Анализ показывает, как интуитивные выводы вступают в противоречие со строгими математическими расчетами. Эти парадоксы имеют практическую значимость в медицине, экономике и социологии, что подчеркивает необходимость учета вероятностных закономерностей и скрытых факторов при принятии решений в условиях неопределенности.

ABSTRACT

The classical paradoxes of probability theory – the paradox of two envelopes, St. Petersburg – arise from errors in probabilistic reasoning, incorrect use of random variables and the influence of hidden variables. The analysis shows how intuitive conclusions conflict with rigorous mathematical calculations. These paradoxes have practical significance in medicine, economics, and sociology, which emphasizes the need to take into account probabilistic patterns and hidden factors when making decisions under conditions of uncertainty.

Ключевые слова: теория вероятностей, вероятностные парадоксы, парадокс двух конвертов, Петербургский парадокс, парадокс Симпсона, математическое ожидание, случайные величины, скрытые переменные, теория полезности, принятие решений.

Keywords: probability theory, probabilistic paradoxes, the paradox of two envelopes, St. Petersburg paradox, Simpson's paradox, mathematical expectation, random variables, hidden variables, utility theory, decision making.

Теория вероятностей, лежащая в основе многих научных методов, особенно востребована в экспериментальных науках, где результаты измерений при повторных опытах проявляют статистический разброс. При этом вероятностные модели порождают противоречивые трактовки, известные как вероятностные парадоксы.

Парадокс двух конвертов – это классическая задача теории вероятностей, которая наглядно демонстрирует, как интуитивные рассуждения могут привести к противоречивым заключениям. Представьте себе следующую ситуацию:

1 Перед вами лежат два неразличимых конверта. Вы знаете, что в одном из них сумма денег в два раза больше, чем в другом.

2 Вы выбираете один конверт наугад.

3 Не открывая его, вам предлагают подумать над простым вопросом: «Стоит ли поменять свой конверт на другой?»

На первый взгляд, кажется, что менять бессмысленно, так как шансы были равны изначально. Однако простое вероятностное рассуждение, которое мы рассмотрим ниже, якобы доказывает, что менять конверт всегда выгодно. Это и есть парадокс.

Допустим, в вашем конверте лежит сумма Х рублей. Тогда в другом конверте с равной вероятностью (50%) может лежать либо вдвое больше, либо вдвое меньше. Давайте посчитаем математическое ожидание (среднюю ожидаемую выгоду) от обмена: при вероятности ½ вы получите 2Х (выигрыш), и при той же вероятности получите Х/2 (проигрыш).

Ожидаемый выигрыш = (1/2) * (+Х) + (1/2) * (-Х/2) = Х/4.

Поскольку Х/4 – положительная величина, ожидаемая прибыль от обмена составляет Х/4, то есть больше нуля. Это значит, что менять конверт всегда выгодно! Но здесь и возникает парадокс: если менять конверт всегда выгодно, то зачем вообще был нужен первоначальный выбор? Та же логика будет применяться и ко второму конверту, если вы возьмете его в руки, и вы снова захотите поменяться. Получается бесконечный цикл взаимовыгодных обменов, что абсурдно.

Ошибка этого рассуждения кроется в некорректном использовании переменной Х. В расчетах Х одновременно представляет собой две разные величины:

1 Константа: сумма в вашем текущем конверте;

2 Случайная величина: сумма, которая может быть как меньшей, так и большей в зависимости от ситуации.

Математическое ожидание выигрыша от обмена равно нулю. Менять конверт не выгодно и не невыгодно – это просто другая лотерея с теми же шансами.

Парадокс двух конвертов наглядно демонстрирует важность четкого определения вероятностного пространства в теории вероятностей. Он показывает, как простое условие создает логические ловушки, возникающие из-за некорректного обращения со случайными величинами. Другой классической задачей теории вероятностей и экономики, демонстрирующей расхождение между математическим ожиданием выигрыша и его реальной субъективной ценностью, является Петербургский парадокс.

Парадокс был впервые сформулирован Даниилом Бернулли в 1738 году и назван в честь журнала, где была опубликована его работа. Представьте себе следующую азартную игру, за участие в которой вам предлагают заплатить определенную сумму.

Главным вопросом является, какую максимальную сумму вы готовы заплатить за право сыграть в игру.

Рассчитаем среднюю сумму, которую можно выиграть за много повторений игры – математическое ожидание: вероятность, что орел выпадет на 1-м броске ½. Выигрыш составит 2 рубля, тогда как вклад в ожидание – 1. Вероятность, что орел выпадет на 2-м броске (то есть сначала решка, потом орел): ¼. Выигрыш 2² = 4 рубля. Вклад равен 1. Вероятность выпадения орла на 3-м броске равна 1/8. Выигрыш составит 8 рублей, вклад – 1.

Таким образом математическое ожидание выигрыша в этой игре бесконечно велико. Согласно теории, если вы рациональный игрок, стремящийся максимизировать свою прибыль, вы должны быть готовы заплатить за вход в игру любую конечную сумму, хоть миллион рублей, поскольку в долгосрочной перспективе (теоретически) вы все равно окажетесь в плюсе.

Петербургский парадокс сыграл ключевую роль в развитии экономики и теории принятия решений. В первом случае он заложил основы теории полезности и теории рисков, а во втором показал, что математическое ожидание денежного выигрыша – не единственный критерий для принятия решений в условиях неопределенности. Таким образом, парадокс не является ошибкой в математике, а прекрасно иллюстрирует границы применимости чисто математических моделей в реальном человеческом поведении.

Список литературы:

1. Бернулли Д. Опыт новой теории измерения жребия/ Д. Бернулли. – Санкт-Петербург: Наука, 2009.
2. Палий И.А. О парадоксе двух конвертов/ И.А. Палий. –Омск: СибАДИ, 2022.
3. Добрина М.В. Санкт-Петербургский парадокс и его применение в задачах моделирования финансовых рынков/ М.В. Добрина. – Воронеж: ВГУ, 2017.