РЕКОНСТРУКЦИЯ СПЕКТРА ШУМНОГО РАДИОСИГНАЛА И ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ОТДЕЛЕНИЯ ПОЛОС

​RECONSTRUCTION OF THE SPECTRUM OF A NOISY RADIO SIGNAL AND EVALUATION OF BAND SEPARATION QUALITY

Sergeev Mikhey Sergeevich

Student, Department of Computer Science and Engineering, Volga Region State University of Telecommunications and Informatics,

Russia, Samara

Zhukov Sergey Vadimovich

Scientific supervisor, candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, Volga Region State University of Telecommunications and Informatics,

Russia, Samara

АННОТАЦИЯ

Рассмотрена задача восстановления спектра зашумлённого радиосигнала и оценки качества отделения полос в реальных условиях (низкий SNR, цветной/импульсный шум, пропуски, перекрытие полос). Предложен практический алгоритм: первоначальная оценка Welch + локальная сверхразрешающая аппроксимация через LASSO в выделенных интервалах. Описаны модель сигнала, протокол численных экспериментов (несколько сценариев) и метрики оценки (выходной SNR, MSE PSD, ошибки пиков, доля корректно отделённых полос). Численные испытания показывают улучшение качества восстановления по сравнению с эталонами; обсуждаются настройка параметров и вычислительные ограничения.

ABSTRACT

This paper considers the problem of reconstructing the spectrum of a noisy radio signal and assessing the quality of band separation under real-world conditions (low SNR, colored/impulse noise, gaps, and band overlap). A practical algorithm is proposed: an initial Welch estimate + local super-resolution approximation using LASSO in selected intervals. The signal model, numerical experiment protocol (several scenarios), and evaluation metrics (output SNR, MSE PSD, peak errors, and the proportion of correctly separated bands) are described. Numerical tests demonstrate improved reconstruction quality compared to benchmarks; parameter tuning and computational limitations are discussed.

Ключевые слова: спектральная оценка; периодограмма; Welch; LASSO; разрежённая аппроксимация; AR-модели; Винеровская фильтрация; SNR; разделение полос.

Keywords: spectral estimation; Welch method; LASSO; sparse approximation; AR models; Wiener filtering; SNR; band separation.

Восстановление спектрального состава сигналов в шумах — ключевая задача радиотехники: она необходима для приёма, демодуляции, мониторинга и классификации помех. Реальные условия (низкий SNR, цветной или импульсный шум, многопутность, частотное перекрытие) снижают точность классических оценок, а ограниченные длины окон и ресурсы усложняют применение вычислительно тяжёлых методов в реальном времени.

Классические подходы делятся на непараметрические (периодограмма, Welch) — простые, но с ограниченным разрешением при малой длине окна, и параметрические (AR, MUSIC, ESPRIT) — дающие лучшее разрешение, но требующие выбора модели. Для подавления шума применяются фильтры Винера и адаптивные методы (LMS, RLS). Современные техники дополняют эти подходы регуляризацией и разрежёнными моделями (LASSO), что помогает разделять перекрывающиеся спектры и повышает устойчивость при низком SNR.

Практические сложности: импульсный и сильно цветной шум ломают статистические допущения алгоритмов; при коротких окнах и частичном перекрытии полос теряется разрешающая способность; пропуски и малый объём данных усложняют восстановление. Кроме того, жёсткие требования по вычислительным ресурсам ограничивают использование сложных методов.

Цель — разработать и оценить алгоритм реконструкции спектра, устойчивый к реальным помехам и ограничениям наблюдения, совмещающий стабильность непараметрических оценок и локальную сверхразрешающую аппроксимацию для разделения перекрывающихся полос.

Принятый сигнал моделируется как сумма трёх типов компонент:

• Узкополосные тона: каждый тон задаётся функцией

,

где  — амплитуда,  — частота,  — фаза.

• Широкополосная (шумоподобная) компонента:, моделируется как широкий спектр шума, похожего на белый или цветной шум.
• Модулированная полоса: — полоса с амплитудной, частотной или цифровой модуляцией.

Таким образом общий сигнал представляется как сумма тонов и шумоподобных компонентов:

Наряду с полезным сигналом моделируются различные типы шума и искажений:

• Белый гауссовский шум: равномерный по частоте фоновый шум.
• Цветной шум (например, "розовый", ) – с возрастанием энергии на низких частотах.
• Импульсный шум (спайк-шум,  - стабильный): редкие сильные выбросы.
• Сочетания аддитивных и мультипликативных искажений: аддитивный шум прибавляется к сигналу, мультипликативный изменяет амплитуду сигнала.

В численных экспериментах эти типы вводятся поочерёдно и в комбинации, чтобы оценить устойчивость методов при разных реальных условиях.

Параметры наблюдения включают: полосу анализа, частоту дискретизации  (в том числе режим sub-Nyquist), длительность окна наблюдения  и наличие возможных пропусков отсчётов. Различные сочетания  и наличие или отсутствие разрывов формируют набор тестовых сценариев эксперимента.

Для оценки эффективности методов применяются следующие метрики:

• Выходное SNR после обработки (в dB) – отношение мощности полезного сигнала к мощности ошибки восстановления.
• MSE между истинным и оценённым спектром мощности (усреднённая по частоте среднеквадратичная ошибка).
• Относительные погрешности пиков: относительные ошибки амплитуд и частот пиков спектра.
• Спектральное расстояние: например, дивергенция Кульбака–Лейблера между нормированными спектрами.
• Процент правильно разделённых полос: доля полос, отделённых без ошибок.

Таблица 1.

Параметры экспериментальных сценариев

Эти показатели позволяют комплексно оценить качество восстановления: от общей точности до способности различать близкие по частоте сигналы и устойчивости к выбросам.

Периодограмма — это классический непараметрический метод оценки спектральной плотности мощности (СПМ) по оконному фрагменту дискретного сигнала  длины   :

Она даёт быстрое приближение спектра, но имеет высокий разброс оценок и нелинейное смещение (протечки) при конечной длине окна. Для уменьшения разброса применяются оконные функции (например, Hamming, Hann, Blackman), которые снижают утечку, но ухудшают разрешение.

Метод Уэлча (Welch) стабилизирует периодограмму за счёт усреднения: сигнал разбивается на перекрывающиеся сегменты длины (обычно перекрытие ), для каждого сегмента вычисляется оконная периодограмма, а затем усреднение по сегментам даёт итоговую оценку. Welch-метод прост в реализации и стабилен при разных типах шума, поэтому часто служит непараметрическим эталоном. Его недостаток — ограниченная частотная разрешающая способность при коротких окнах и близких по частоте пиках.

Параметрические методы приближают сигнал моделью фиксированного порядка. Часто используется авторегрессионная модель AR():

где  — коэффициенты модели, а — белый шум (возмущающий процесс) с дисперсией . Спектральная плотность мощности по AR-параметрам оценивается как

Коэффициенты обычно находятся решением уравнений Юла–Вокса или алгоритмом Левенсона–Дурбина.

Преимущество AR-методов — высокая частотная разрешающая способность при небольшой длине записи (существенное разрешение узких линий). Недостаток — чувствительность к выбору порядка модели  и к погрешностям модели. При неверном порядке могут возникать ложные пики и смещения в спектре. Выбор обычно основан на информационных критериях (AIC, BIC) или кросс-валидации.

Фильтрация Винера в частотной области даёт оптимальный по МСО (mean squared error) линейный фильтр при известных спектрах сигнала и шума. Функция передачи Винера задаётся как:

где и — спектры полезного сигнала и шума. На практике эти спектры оцениваются и подставляются в формулу. Линейная фильтрация Винера минимизирует МСО между выходом фильтра и исходным сигналом.

Адаптивные алгоритмы LMS (метод наименьших квадратов) и RLS (Recursive Least Squares) позволяют приближённо настраивать фильтр в онлайн-режиме без априорного знания статистики. Базовая формула обновления весов  в LMS-алгоритме имеет вид:

где  — шаг обучения,  — ошибка на шаге, а  — входной вектор (последовательность прошлых отсчётов). Алгоритм RLS оценивает ковариационную матрицу рекурсивно с коэффициентом забывания , обеспечивая более быструю сходимость за счёт большей вычислительной нагрузки. Выбор между LMS и RLS зависит от требований: LMS проще и легче в расчётах, RLS быстрее адаптируется при изменяющейся среде.

Для сравнения методов была построена единая программная реализация с фиксированными параметрами и тремя «эталонными» подходами: Welch (непараметрический эталон), AR-оценка (параметрический эталон) и Винер/адаптивный фильтр (фильтрационный эталон). Такой набор покрывает три классических подхода: усредняющий, модельный и оптимальный линейный фильтр.

Рекомендованные параметры экспериментов: длина окна анализа (например,  отсчёта), сегмент Welch  с перекрытием, оконная функция — Хэмминг; длина FFT не меньше   для дополнительного сглаживания спектра. Для AR-модели используется диапазон порядка  с оценкой порядка по критериям AIC/BIC. Для LMS шаг порядка  (зависит от нормировки входа), для RLS фактор забывания . В теоретических экспериментах оцененные спектры полезного сигнала и шума могут браться из истинного спектра (идеальный кейс) или из предварительной оценки (Welch/AR) для практического варианта.

Эталон строился так: для каждого сценария (тип шума, длина, SNR) вычислялись PSD методами Welch и AR, и их результаты вместе с настройками фильтра Винера служили базовыми кривыми сравнения. Для статистики проводилась серия независимых запусков (например, 100 реализаций) с вычислением средних метрик (SNR, MSE, относительная ошибка пиков, процент отделённых полос) и доверительных интервалов. Кроме качественного сравнения, важно оценить и вычислительную сложность (время выполнения) и чувствительность методов к выбору параметров, что критично в практических системах.

Предложенный метод сочетает быструю грубую спектральную оценку с локальным разрежённым уточнением. Ключевые этапы алгоритма:

1. Предварительная оценка спектра: сигнал предварительно детрендируется и нормируется. По усреднённой периодограмме Welch (Хэмминг, сегменты , 50% перекрытие) строится энергетическая карта сигнала.

2. Выделение интервалов интереса: на карте обнаруживаются интервалы с повышенной энергией (кандидаты на наличие узкополосных компонент).

3. Локальная разрежённая аппроксимация: для каждого выделенного интервала формируется плотный словарь узкополосных компонент, состоящий из комплексных экспонент (или оконно-модифицированных Фурье-атомов) в пределах предполагаемой полосы. Решается задача LASSO (L1-регуляризации):

где — фрагмент спектра, — матрица словаря, а  — параметр регуляризации. Это даёт разрежённое представление внутри интервала и позволяет отделять перекрывающиеся полосы и уточнять амплитуды и частоты узких компонент.

4. Агрегация локальных решений: полученные локальные спектральные оценки объединяются со «фоном» из исходной оценки Welch вне интервалов. Затем выполняется небольшая постобработка (сглаживание оценок, обрезка отрицательных значений, коррекция фаз), чтобы получить итоговый спектр.

На Рис. 1 приведена блок-схема предлагаемого алгоритма.

Рисунок 1. Блок-схема предлагаемого алгоритма и примерный результат

Практические параметры метода: окно   отсчётов, длина FFT, плотность словаря примерно 4–10 точек на ширину предполагаемой полосы. Регуляризация задаётся в виде , где  — максимальное значение (определяемое данными), а . Для решения задачи LASSO рекомендуются быстрые градиентные методы (ISTA/FISTA) или координатный спуск. При наличии импульсного шума перед обнаружением интервалов полезно выполнить робастную предобработку (например, медианное усечение выбросов), чтобы уменьшить число ложных пиков.

Метод относительно экономичен вычислительно: разрежённые задачи решаются только в локальных интервалах (их размер обычно небольшой), а общая оценка Welch даёт надёжные кандидаты для детекции. Такой подход хорошо настраивается: Welch обеспечивает устойчивую оценку низкочастотной «подложки», а локальная L1-регуляризация даёт высокую точность при разделении перекрывающихся компонент и оценке слабых сигналов в условиях низкого SNR.

Для проверки работы метода проведён набор контролируемых численных экспериментов на синтетических сигналах. Были сформированы шесть типичных сценариев, имитирующих реальные условия приёма:

• два тона на фоне белого шума (SNR = 10 дБ)
• два тона на фоне цветного () шума (SNR = 5 дБ)
• близко расположенные перекрывающиеся тона (SNR = 0 дБ)
• модулированная полоса с импульсным шумом
• короткое окно наблюдения () при белом шуме
• смешанный сценарий (цветной шум с импульсами и случайными пропусками выборок).

Параметры сценариев приведены в Таблице 1.

Рис. 2 показывает пример сравнения истинного, зашумлённого и восстановленного спектров для выбранного сценария.

Рисунок 2. Сравнение PSD и временных форм сигналов для сценария «Two tones + white»

Для статистики каждый сценарий выполнялся многократно (20 независимых реализаций с разными шумовыми реализациями). В качестве базовых алгоритмов использовались: усреднённая периодограмма (Welch), параметрическая AR-оценка порядка  (метод Юла–Вокса) и классический фильтр Винера (в идеализированном варианте с использованием эталонных спектров). Параметры окон и FFT были зафиксированы одинаково для всех методов (окно Хэмминга, длина сегмента , перекрытие , ) — см. Таблицу 1.

Для каждой реализации вычислялись метрики, перечисленные в разделе 3: выходной SNR, MSE PSD, относительная ошибка амплитуд/частот пиков и доля правильно отделённых полос. В Таблице 2 приведены средние значения и стандартные отклонения по 20 реализациям; графическое сравнение средних SNR и MSE показано на Рис.3. При необходимости различия можно дополнительно проверить статистическими тестами (t-тест, бутстрэп).

Таблица 2

Сводные метрики по сценариям (среднее ± стандартное отклонение по 20 реализациям)

Рисунок 3. Сравнение средних значений выходного SNR (слева) и MSE PSD (справа) для трёх методов по всем сценариям; погрешности на столбцах — ±1σ (стандартное отклонение, 20 реализаций)

Основные результаты: в рассмотренных сценариях предложенный метод в целом превосходит непараметрический Welch и параметрический AR по сочетанию выходного SNR и MSE PSD. Эффект особенно заметен при низком SNR и при близком или частичном перекрытии полос: локальная разрежённая аппроксимация точнее выделяет частоты и амплитуды слабых компонент, тогда как Welch «размывает» узкие пики, а AR при неверном выборе порядка даёт смещения и ложные максимумы (см. Таблицу 2 и Рис. 3). В благоприятных условиях (высокий SNR, хорошо разнесённые тона) разницы между методами невелики, однако предлагаемый метод чаще точнее оценивает амплитуды слабых сигналов. В ситуациях с импульсным шумом предварительная робастная обработка (медианная фильтрация или усечение выбросов) улучшает выделение кандидатов и снижает число ложных пиков.

Ограничения: метод требует итерационных вычислений LASSO в каждом найденном интервале, что делает его более ресурсоёмким по сравнению с чистой Welch-оценкой. Тем не менее обработка носит локальный характер и хорошо распараллеливается, поэтому на практике можно ограничивать размер словаря и число итераций (например, максимальное количество итераций ) или распределять расчёты по потокам/ядрам. Другой предпосылкой метода является модель локального спектра как суммы узких компонент; в задачах со сложной нелинейной модуляцией или при отсутствии априорной информации о ширине полос это предположение может нарушаться, и может потребоваться дополнительная адаптация.

Рекомендации для практического применения: на основе полученных результатов целесообразно следовать следующим настройкам и процедурам: - Использовать для предварительной карты энергетики метод Welch (окно Хэмминг, длина сегмента  отсчётов, перекрытие ) для выделения интервалов интереса. - При возможности выбирать длину окна  отсчётов, так как увеличение окна повышает частотное разрешение и эффективность локальной аппроксимации. При  выигрыш снижается. - Задавать плотность словаря порядка точек на предполагаемую ширину каждой полосы. - Регуляризацию выбирать в виде с  в диапазоне . Параметр  желательно подбирать по небольшому валидационному набору или опыту. - При наличии сильного импульсного шума проводить предварительное усечение выбросов (или медианную фильтрацию) перед подачей данных на локальную LASSO-аппроксимацию. - Для встроенных и реального времени-приложений ограничивать число итераций и размер словаря, а также использовать параллельную обработку интервалов.

Предложен и реализован регрессионно-аппроксимационный алгоритм реконструкции спектра шумного радиосигнала. В этом алгоритме предварительная непараметрическая оценка спектра (метод Уэлча) служит для выделения интервалов частотного диапазона с повышенной энергией, после чего в каждом из этих интервалов выполняется локальная разрежённая аппроксимация методом LASSO по словарю узкополосных компонент. Проведены численные эксперименты по шести сценариям с разными типами шума, уровнями SNR и условиями наблюдения; для сравнения использовались методы Welch и AR.

Результаты экспериментов показали, что предложенный метод стабильно улучшает качество восстановления спектра в сложных условиях. В описанных сценариях средний выигрыш выходного SNR составил порядка 3–4 дБ относительно Welch и около 2–2.5 дБ относительно AR (см. Табл. 2, рис. 3); MSE PSD уменьшилось заметно в зависимости от сценария. Преимущество особенно очевидно при низком SNR и при близком или частичном перекрытии полос; в благоприятных условиях различия между методами небольшие.

Практическая значимость метода заключается в том, что он сочетает стабильность непараметрических оценок с возможностью локального сверхразрешения. Это полезно для мониторинга спектра в реальном времени, отделения узкополосных источников и предварительной обработки при ограниченных данных.

Для реальных приложений рекомендуется использование описанных выше параметров (начальная карта Welch,  плотность словаря 4–10 узлов на ширину полосы, ,  , предварительное усечение выбросов при импульсном шуме) и обязательно проведение валидации на реальных измерениях с тонкой настройкой параметров. Перед полномасштабным внедрением следует учитывать вычислительные ограничения и проводить тестирование на практике.

Таким образом, комбинированный подход «Welch + локальная LASSO-аппроксимация» обеспечивает практически полезный компромисс между надёжностью и разрешающей способностью спектральной оценки, объединяя достоинства классических и современных методов.

Список литературы:

1. Грант П.М., Коуэн К.Ф.Н. (ред.) Адаптивные фильтры. — М.: Мир, 1988. — 392 с.
2. Шахтарин Б.И., Жураковский В.Н., Сидоркина Ю.А., Сизых В.В., Чернышов Ю.Н. Методы оценки энергетического спектра случайных процессов: учеб. пособие для вузов. — М.: Горячая линия — Телеком, 2017. — 228 с.
3. Шахтарин Б.И., Ковригин В.А. Методы спектрального оценивания случайных процессов: учеб. пособие. — 2-е изд. — М.: Горячая линия — Телеком, 2011. — 256 с.
4. Шахтарин Б.И. Фильтры Винера и Калмана: учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр. — М.: Горячая линия — Телеком, 2016. — 396 с.