РЕШЕНИЕ БЫТОВЫХ ЗАДАЧ ПОСРЕДСТВОМ ПРИМЕНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

​SOLVING EVERYDAY PROBLEMS THROUGH THE APPLICATION OF FIRST-ORDER LINEAR EQUATIONS

Sorokina Alice Konstantinovna

Student, Minin Nizhny Novgorod State Pedagogical University,

Russia, Nizhny Novgorod

Balandina Darya Viktorovna

Student, Minin Nizhny Novgorod State Pedagogical University,

Russia, Nizhny Novgorod

Elizarova Ekaterina Yurievna

Scientific supervisor, Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Minin Nizhny Novgorod State Pedagogical University,

Russia, Nizhny Novgorod

АННОТАЦИЯ

Cтатья предлагает практико-ориентированный подход использования линейных уравнений с одной неизвестной для решения ряда бытовых задач, с которыми человек сталкивается с определенной регулярностью. Рассмотрены частные решения, типологии задач, в которых могут быть использованы линейные уравнения с одной переменной.

ABSTRACT

The article offers a practice-oriented approach to the use of linear equations with one unknown to solve a number of everyday problems that a person encounters with a certain regularity. Private solutions, typology of problems in which linear equations with one variable can be used are considered.

Ключевые слова: линейные уравнения, математическая модель, алгебра, задачи, уравнения первого порядка, системы уравнений.

Keywords: linear equations, mathematical model, algebra, problems, first-order equations, systems of equations.

C линейными уравнениями обучающиеся сталкиваются в ходе изучения алгебры. В данной статье рассматривается пособие Я. С. Бродского и А. Л. Павлова “Пособие для дополнительного изучения математики обучающимися 7-8 классов” [1] . Они считают, что: “ Один из общих методов, позволяющих решать самые разнообразные, внешне не похожие друг на друга, задачи, основан на составлении уравнений.” Многие жизненные процессы как в различных экономических науках, как в физике и смежных с ней дисциплинах, так и на бытовом уровне можно описать с помощью языка математики, создавая математические модели. Простейшие жизненные процессы можно описать более простой математической моделью. Ими являются уравнения первого порядка. Суть применения заключается в том, что бытовая ситуация переводится на язык математики:

1. Формирование математической модели: выявление проблемы и написание уравнения. Самое главное- правильно обозначить неизвестное (например, х-цена продукта, количество человек, расстояние).
2. Исследование модели: работа заключается в решении уравнения.
3. Оценка результата: перевод из численного значения в исходный язык задачи.

Линейные уравнения широко применяются для решения жизненных задач. Уравнение вида: ах = b, где а и b — некоторые числа(параметры), х — переменная, называют линейным уравнением с одной переменной. Это уравнение является линейным, потому что представляет прямую на графике. От значения параметров уравнение может быть несколько решений:

Уравнение вида:

1. Если , то уравнение  имеет единственный корень, равный
2. Если , то линейное уравнение будет иметь вид: . Тогда возможны два случая: и

В первом случае уравнение будет иметь вид: . Тогда, если  и , то уравнение  будет иметь бесконечно много корней.

Во втором случае уравнение будет иметь вид: . Если  и , то уравнение  корней не имеет.

Таблица 1

Зависимость количества корней линейного уравнения  от параметров  и

Линейные уравнения являются основой для последующего усвоения более сложных математических конструкций, включая системы уравнений, неравенства и анализ функций высшего порядка. Данная тема закладывает основу как для дальнейшего теоретического образования, так и для решения практических задач. В статье применяется разбор задач на составление линейных уравнений с одной переменной. [4]

Решения уравнений представлены во многих учебных изданий.

Первый пример возьмем из учебника «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1703 г.). Обращение к историческим источникам наглядно демонстрирует, что задачи, связанные с жизненными потребностями, всегда были двигателем развития математической мысли. [2]

Задача 1. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 руб. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был?

Решение: Алгебраическое решение задачи приводит к уравнению

где  руб.- стоимость кафтана.

После проведения расчетов мы получаем точный ответ: кафтан стоил 4,8 руб. 

Современные пособия по алгебре активно используют бытовые контексты для закрепления материала. Рассмотрим две характерные задачи из учебника.

Задача 2. За первый день Вася прочел 8/15 страниц книги, за второй − 5/12 страниц книги и за третий день − оставшиеся 12 страниц. Сколько страниц в этой книге? [3]

Решение: Пусть в книге  страниц, тогда  страниц Вася прочитал в первый день;  страниц прочитал Вася во второй день, а после двух дней осталось прочитать 12 страниц. Составим уравнение:

Ответ: 240 страниц.

Задача 3. Велосипедист проехал 65 км за 5 ч. Часть пути он ехал со скоростью 10 км/ч, а оставшийся путь - со скоростью 15 км/ч. Сколько времени он ехал со скоростью 10 км/ч и сколько - со скоростью 15 км/ч?

Решение. Пусть велосипедист ехал х ч. со скоростью 10 км/ч. Тогда со скоростью 15 км/ч он ехал  ч. Первая часть пути составляет  км, а вторая-  км. Составим уравнение:

Велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч 2 ч.

Велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч 3ч.

Ответ: 2ч, 3ч.

Линейные уравнения представляют собой эффективный инструмент для решения различных бытовых задач. Одним из главных преимуществ использования таких уравнений является простота и доступность. Даже без глубоких математических знаний, каждый может научиться формулировать задачи и находить ответы на них.

Список литературы:

1. Бродский Я. С. Задачи на движение. Пособие для дополнительного изучения математики обучающимися 7-8 классов / Я. С. Бродский, А. Л. Павлов. – Донецк, 2023. – 69с.
2. Магницкий Л.Ф. Арифметика / Л.Ф Магницкий, 1703.
3. Мерзляк А. Г. Алгебра, 7 класс / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир, 2022. – 275с.
4. Шамсудинова Д. А. Развитие аналитической базы учебных исследований при обучении учащихся решению линейных уравнений и неравенств / Д. А. Шамсудинова, Н. Ю. Ботвинёва, 2024. – С. 83.
5.