АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ФЕРРОМАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ

Во многих случаях, представляющих практический интерес, необходимо иметь дело с электромагнитными системами, в которых задействованы ферромагнитные материалы.  Проблема определения электромагнитного поля в ферромагнитном материале приводит к нелинейному зависящему от времени дифференциальному уравнению в частных производных, которое гораздо труднее решить, чем соответствующему для линейного случая.

Из уравнений Максвелла легко следует, что вектор магнитного поля в нелинейном ферромагнитном материале описывается уравнением

                                         (1)

Уравнение (1) даже одномерное и с простыми граничными и начальными условиями может быть разрешено аналитически только в очень немногих случаях.

Например [3] распространение магнитного поля в твердом полупространстве железа была вычислена аналитически.

Приняв граничное условие H = H₀ при и специальную аппроксимацию функции B (H) автору [3] удалось преобразовать уравнение (1) к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Представленный здесь метод является строго численным и не зависит от конкретной формы B (H).

Уравнение, описывающее нелинейные, одномерные, электромагнитные задачи

В одномерных случаях можно рассматривать; соответствующее уравнение для электромагнитного поля (полученное из (1)) как квазилинейное от параболического типа.

Недавно была разработана теория численного решения краевых задач для таких уравнений [1, 2]. Во всех рассмотренных случаях мы перейдем к эквивалентному (1) уравнению вида

                                  (2)

и рассмотрим его в прямоугольной области

при следующих условиях:

                                         (3)

.

Решение уравнения (2) с условиями (3) было предложено в [2].

Предполагается, что функция  удовлетворяет условию

                                         (4)

гарантирует единственное решение.

После дискретизации интервалов [a, b] и [0, T] с шагами h и k, метод, описанный в [2], требует выполнения трех операций

 и

                                              (5)

где

Определив решение  для i = 1, ... ,N в момент  и вспомогательные значения , можно получить решение  в момент , решая систему линейных алгебраических уравнений:

                              (6)

i=1, . . . , N.

Вспомогательные значения определяются  выражением (5) в случае, когда     j = 0 вычисляются  по формуле:

                                                                                      (7)

Эта операция ограничении для некоторой положительной константы  и с предположением о том, что , доказана сходимостью в [2].

В следующих разделах мы примем этот метод для получения решения нелинейных одномерных электромагнитных задач.

Экранированное  железо в электромагнитном поле

Рассмотрим распространение электромагнитного поля в экранированном железе (рис.1).

Рисунок 1 - экранированное железо в электромагнитном поле

Предположим, что в момент времени t=0 на поверхностях появляется вектор . В этом случае уравнение (1) имеет вид:

                                                                                                     (8)

граничные и начальные условия заключаются в следующем:

                                                                          (9)

Предполагая решение в виде:

                                                                               (10)

Уравнение (8) с условиями (9) можно преобразовать к следующему:

                                                                                (11)

с условиями

                                                                                              (12)

Таким образом, согласно разделу 2, мы имеем

                                                               (13)

Легко видеть, что функция К для произвольных характеристик  удовлетворяет условию (4).

Численные расчеты, основанные на формулах (5-7), были выполнены для следующих примеров:

Предположим, что функция  имеет вид:

                             (14)

где                                                                   

Рисунок 2. Распределение вектора магнитного поля в различные моменты времени при

Рисунок 3. Распределение вектора магнитного поля для ,

Характеристики H (B) взяты в виде [4]: ,

также  может быть найден путем измерения и сохранен в двух массивах на компьютере.

На рисунке 2 представлены распределение вектора магнитного поля в различные моменты времени при . Предполагая, что можно рассматривать эффект распространения плоской электромагнитной волны в экранированном железе. Вычислив вектор магнитного поля, можно определить вектор электрического поля

                                                                                      (15)

 и другие значения поля, такие как плотность вихревых токов и магнитный поток.

Результаты расчета приведены на рисунке 3. В приведенном выше случае мы не рассматривали петлю гистерезиса, но нет особых трудностей в расширении метода и рассмотрим эффект гистерезиса.

Осевые – симметричные, нелинейные, одномерные электромагнитные задачи.

На рисунке 4 показан осевой симметричный полый цилиндр. Предположим, что в момент времени t = 0 на поверхности появляется вектор магнитного поля

Рисунок 4. Бесконечный полый цилиндр в электромагнитном поле

Уравнение (1) имеет в цилиндрической системе координат форму:

                                                                                   (16)

Его можно проанализировать так же, как уравнение (8). Расчет выполнен для функции  вида (14).

Результаты для данных представлены на рисунке 5.

Рисунок 5. Распространение вектора магнитного поля при

В результате анализа и расчета  использована экстраполированная разностная схема Крина-Николсона для анализа нелинейных одномерных электромагнитных задач.

В качестве примеров были рассмотрены случаи распространения магнитного поля в экранированном железе и в полом ферромагнитном цилиндре. Предполагалось, что на обеих границах мы имеем одно и то же граничное условие. Если на поверхностях имеются различные граничные условия

  и  , также может быть применена система.

Вместо (10) следует использовать формулу:

а затем преобразовать уравнение (1) к уравнению типа (2).

Список литературы:

1. Джангвеладзе Т.А. Исследование и численное решение некоторых нелинейных интегро-дифференциальных параболических задач// дис. … канд. физико-математических наук. — М., 1984. — 116 с.
2. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. — М. Наука , 1987. — 480 с. 
3. Курбатов  П.А.,  Аринчин  С.А.  Численный  расчет  электромагнитных полей. —  М. Энергоатомиздат, 1984. —168 с.
4. Мустафаев Р.А., Набиев М.А., Гулиев З.А., Гаджибалаев Н.М. К аппроксимации кривой намагничивания. – Электричество, №5, 2004.