АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается методика решения задач с экономическим содержанием по математике с помощью арифметической и геометрической прогрессии.

Ключевые слова: задачи с экономическим содержанием, ЕГЭ, проценты, сложные проценты, арифметическая и геометрическая прогрессии.

С 2015 года еще одним камнем преткновения  в заданиях ЕГЭ стали задачи с экономическим содержанием.

На сайте ФИПИ в разделе «Аналитические и методические материалы» представлены методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2017 года. В этих рекомендациях приводится статистика выполнения заданий. «В 2017 году ненулевой балл получили свыше половины участников за выполнение заданий повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Наилучшие показатели отмечены при … и практико-ориентированного задания 17 – решение текстовой задачи с экономическим содержанием (2015 г. – 2,3%, 2016 г. – 13%,  2017 г. – 14,8). Более подробной информации не представлено [2]. Однако, как показывает практика, многие учащиеся даже не берутся за выполнение данного задания.

Задачи с экономическим содержанием можно решать разными способами: с помощью формул простых и сложных процентов [1]., в общем виде, с использованием степеней, с помощью математического анализа, методом сравнения.

В данной статье рассмотрим простой, на наш взгляд, способ решения банковских задач на кредиты с помощью формул арифметической и геометрической прогрессии.

Если изначальный размер кредита обозначить за ,  процент банка примем за %.   Ежегодная выплата по кредиту пусть будет равна ,  тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы  размер долга составит:

                                                         (1)

Обозначим .

Тогда через 2 года размер долга составит: ;

через три года: ;

через  лет: .

Для подсчета величины в скобках удобно применить формулу суммы  членов геометрической прогрессии.

Формула для суммы  членов геометрической прогрессии следующая:

,  тогда    размер долга через  лет  составляет:

                                                       (2)

Рассмотрим конкретные  задачи.

Задача 1.

31 декабря Дмитрий взял в банке 429 000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5 %), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными ежегодными платежами? [n2]

Решение:

Если сумма кредита – , процентная ставка – , ежегодный платеж (транш) – , количество лет за который планируется выплатить кредит ,  тогда сумма выплат, используя формулу (2),   составит:  

 где                           (3)

Подставляем данные задачи в формулу (3):

Ответ: по 262205 рублей в год.

Задача 2.

10-го марта клиент взял кредит в банке на следующих условиях:

- срок кредита 24 месяца;

- 1-го числа каждого следующего месяца долг возрастает на 1,2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 9-ое число каждого месяца следует погасить часть долга, так чтобы на 10-ое число каждого месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму.

Какая сумма была взята в кредит, если известно, что общая сумму выплат равняется 1,035 млн. рублей? [3].

Решение:

Общую сумму выплат можно разделить на две части: основной долг (сумма, взятая в кредит)  и выплата по процентам. Причем основной долг разбит на 24 равных платежа. Для наглядности составим таблицу, предварительно обозначив за руб.  – сумму, взятую в кредит. Тогда по условию задачи долг каждый месяц должен уменьшаться ровно на   (руб.).

Таблица 1.

Таблица данных

Составим уравнение:

Заметим, что  в скобках – сумма n первых членов арифметической прогрессии:

Формула суммы п членов арифметической прогрессии:

тогда

Ответ: в кредит было взято 900000 рублей.

В статье мы привели лишь два примера задач, решение которых значительно упрощается с использованием формул арифметической и геометрической прогрессий, уверены, что это поможет выпускникам школ преодолеть трудности при решении экономических задач из банка ЕГЭ.

Список литературы:

1. Первых, Н.В. Задачи на простые и сложные проценты при обучении математике в классах экономического профиля         // Материалы III Международной научно-практической конференции «Современные проблемы физико-математических наук»:  23-26 ноября 2017 г., Орел, 2017.
2. ФИПИ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.fipi.ru (дата обращения 18.02.18)
3. Решу ЕГЭ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://reshuege.ru (дата обращения 18.02.18).