ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ

Аннотация. В статье рассмотрены точные постановки задачи устойчивости физически линейного стержня – дифференциальная и вариационная, приведены основные уравнения, которые их формируют. Произведен краткий обзор метода конечных элементов для решения задач устойчивости стержней.

Введение. В настоящее время в строительной сфере наблюдается стремление к уменьшению материалоемкости конструкций, производству более легких элементов зданий и сооружений, что отражается на устойчивости различных строительных объектов. При проектировании несущих стен, балок и других конструкций, необходимо производить проверку на устойчивость. Сегодня существует несколько способов решения этой задачи, анализ некоторых из них приведен в данной статье.

Точная постановка задачи устойчивости.

Решить задачу устойчивости, значит найти такое минимальное значение силы, действующей на систему, при котором система теряет равновесие, другими словами, найти критическую силу. Для получения основных уравнений точной постановки задачи устойчивости рассматривается упругий стержень, для которого учитываются деформации изгиба, сдвига и растяжения-сжатия. Такой стержень, для случая плоской задачи, имеет три степени свободы в каждой точке. Точная постановка задачи геометрически нелинейного физически линейного стержня в виде системы, состоящей из девяти дифференциальных уравнений, а также вывод этих уравнений приведены в статье [5, с. 89]. Система включает в себя три группы уравнений: уравнения равновесия, физические и геометрические. Уравнения равновесия имеют следующий вид:

В данной формуле:

 – внутренние усилия, возникающие в исследуемом стержне (продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент соответственно);

(), () – координаты точки стержня в его деформированном состоянии;

() – угол поворота вокруг оси Z;

(...)’ – обозначение частной производной по координате .

 – распределенные силовые нагрузки, прикладываемые к стержню;

 – распределенная моментная нагрузка.

Геометрические уравнения представлены следующей системой:

Где:  – деформация растяжения-сжатия;

 – деформация сдвига;

 – деформация изгиба.

Система физических уравнений имеет вид:

Где:  – жесткость стержня на растяжение-сжатие;

 – жесткость стержня на сдвиг;

 – жесткость стержня на изгиб.

Для получения решения задачи устойчивости рассмотрен шарнирно закрепленный стержень, расчетная схема которого представлена на рисунке 1:

Рисунок 1. Расчетная схема стержня

Уравнения в вариациях, соответствующие системам уравнений (1)-(3) имеют следующий вид [5, 90]:

Где:  – вариация координаты x;

 – вариация координаты y;

 – вариация угла поворота φ.

Величины с чертой – характеристики напряженно-деформированного состояния, устойчивость которого исследуется.

Представленные выше девять уравнений (4) формируют постановку задачи устойчивости прямолинейного физически линейного стержня, на который действуют распределенные силовые и моментная нагрузки. Однако, решение такой системы уравнений часто оказывается непростой математической задачей, особенно в тех случаях, когда рассматриваются более сложные стержневые системы, состоящие из множества стержней. Для того, чтобы упростить решение подобных задач, можно использовать вариационную постановку [2, с. 26-31]. Чтобы применять вариационную постановку, необходимо доказать, что она эквивалентна исходной задаче. Вывод функционала, необходимого для вариационной постановки задачи устойчивости, а также доказательство эквивалентности исходной дифференциальной и вариационной постановки задачи приведены в статье [5, с. 90-91].

Функционал устойчивости имеет вид:

(5)

В работе [5, с. 91] показан вывод уравнений устойчивости для рассматриваемого стержня:

Необходимо понимать, что решение задачи устойчивости для рассматриваемого стержня будет точным, как при использовании дифференциальной постановки задачи, так и при применении вариационной, так как при получении приведенных выше уравнений не делалось приближений. Примеры решения задач устойчивости с помощью вариационной постановки приводятся в работе [3, с. 4]. Применение вариационной постановки задач устойчивости также отражено в работе [4, с. 178-185].

Метод конечных элементов.

Сегодня с помощью различных программных комплексов решение задач устойчивости производится часто с использованием метода конечных элементов [6, с. 72-88]. Однако, в силу того, что метод конечных элементов предполагает некоторые аппроксимации [1, с. 17-26], решение задач отличается от точного. При этом, однако, метод конечных элементов дает точные решения для физически и геометрически линейных стержней. В случае же нелинейных задач, метод конечных элементов дает решение с некоторой погрешностью, которая убывает с увеличением числа конечных элементов. При использовании метода конечных элементов задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, что значительно упрощает вычисления.

Основное уравнение метода конечных элементов для задачи устойчивости имеет вид [7]:

Где:  – матрица жесткости системы конечных элементов;

 – вектор узловых нагрузок;

 – матрица геометрической жесткости системы конечных элементов;

 – вектор узловых перемещений.

Условие наличия ненулевых решений можно записать в следующем виде:

В результате решения уравнения (8) получим несколько значений силы Р, действующей на систему. Очевидно, что наименьшее из полученных значений будет являться критической силой, которую необходимо определить для решения задачи устойчивости.

Выводы

Точная постановка задачи устойчивости приводит к необходимости решения сложной системы уравнений. Метод конечных элементов, при грамотном использовании его в подобных задачах, дает приближенное решение, но упрощает итоговую систему уравнений. При решении плоских задач он достаточно эффективен. Сегодня метод конечных элементов занимает лидирующее положение при решении различных инженерных задач, в том числе задач устойчивости.

Список литературы:

1. Деревянкин Д. В., Сливкер В. И. О конечноэлементных аппроксимациях в задачах устойчивости стержней Тимошенко // Вестник гражданских инженеров. - 2008. - №4. - С. 17-26.
2. Елисеев В.В. Механика деформируемого твердого тела СПб: СПбГПУ, 2006. – 231с.
3. Кузнецова Д. А. Влияние продольной и сдвиговой жесткостей на устойчивость балок и колонн // Интернет-журнал Науковедение. - 2016. - №2. - с. 1-13.
4. Лалин В.В. Геометрически нелинейное деформирование и устойчивость плоских упругих стержней с учетом жесткостей на растяжение-сжатие, сдвиг и изгиб / Лалин В.В., Кушова Д.А // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. – 2013. Volume 9, Issue 4. – С.178-185.
5. Лалин В. В., Розин Л. А., Кушова Д. А. Вариационная постановка плоской задачи геометрически нелинейного деформирования и устойчивости упругих стержней // Инженерно-строительный журнал. - 2013. - №1. - С. 87-96.
6. Плотников Ю.Г. Матрицы в строительной механике: учебное пособие. Хабаровск: ДВГУПС, 2008. – 111с.
7. Трушин С.И. Строительная механика: метод конечных элементов: учебное пособие. М. : ИНФРА-М, 2016. – 305с.