ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Теория вероятности и комбинаторика занимают одно из самых важных мест не только в математике и в смежных науках, но и в других, имеющих естественную направленность. Примером этому может служить использование вероятностных и комбинаторных формул в генетике, науке, изучающей организмы на генном уровне. И таких примеров можно привести бесконечно много. Из сказанного можно сделать вывод о практической значимости теории вероятности и комбинаторики. Понимание значимости этого раздела должно присутствовать у педагогов и школьников. Несправедливо, что данный курс изучается в средних общеобразовательных школах на поверхностном уровне, затрагивая только фундаментальные аспекты. В итоге, понимание вероятности учеником, заканчивающим среднюю школу, сводится к решению задач низкого уровня сложности и носит исключительно вычислительно-алгоритмический характер.

Статья является актуальной, потому что результаты проведенных контрольно-диагностических и экзаменационных работ среди учащихся 9-11 классов, показывают, что задачи, входящие в раздел «Комбинаторика и теория вероятности» вызывают серьезные проблемы, поэтому результаты ниже, чем ожидается. Прослеживается тенденция снижения интереса к данному разделу. Это связано с тем, что задания профильного курса и задания, предлагаемые школьникам во время подготовки к экзаменам, затруднены для их восприятия. Они оторваны от реальной жизни подростков и базируются на данных, с которыми учащиеся еще не сталкивались. В связи с этим данная тема оказывается слабо изученной и непонятой. Задачей статья являлась разработка заданий по разделу «Комбинаторика и теория вероятности», адаптированных для современных подростков.

В данной статье будут представлены задачи из раздела «Комбинаторика и теория вероятности», адаптированные для современных подростков. Особое внимание будет уделяться подаче материала в занимательной форме. Задачи будут приведены с подробным решением. Некоторые из них представлены в кроссплатформенной математической программе GeoGebra.

Задача 1. Кубок Хогварста — приз, которым каждый год награждается факультет, набравший наибольшее количество очков за весь учебный год. Как правило, он вручается на празднике, посвященном окончанию учебного года. Как вам, наверное, известно, всего в школе 4 факультета: Гриффиндор, Когтевран,Слизерин и Пуффендуй.  Большие магические песочные часы в холле показывают результаты всех факультетов. Эти часы наполнены различными драгоценными камнями, своими для каждого факультета. Рубины соответствуют Гриффиндору, сапфиры - Когтеврану, Пуффендую - алмазы, ну и несложно догадаться, что у Слизерина в часах изумруды. Естественно, весь год ученики увлеченно следят за результатами соревнования. Ведь из-за любой мелочи все может кардинально измениться. Итак, в скольких различных комбинациях могут располагаться факультеты на турнирной таблице? На рисунке 1 показана иллюстрация к данной задаче.

Рисунок 1. Факультеты Хогвартса

Решение: Нетрудно увидеть, что в этой задаче задействуется формула перестановок:

,                                                 (1)

так как каждый из факультетов может время от времени располагаться как на первом, так и на втором, третьем и четвертом местах.

Соответственно,

                          (2)

Так, различных исходов этого легендарного школьного соревнования может быть именно столько: 24.

Задача 2. Четырехлетний Андрей разорвал висящий в кухне календарь на 12 листов, каждый лист, соответственно, - один календарный месяц. Чтобы избежать наказания, Андрей пытается собрать календарь обратно. Но в силу юного возраста не знает, какому времени года соответствует каждый месяц. Он собрал, например, зиму из марта, июля и ноября. Сколькими различными способами Андрей может собрать календарь? На рисунке 2 представлена иллюстрация к данной задаче.

Рисунок 2. Иллюстрация к задаче 2

Решение: Для решения данной задачи потребуется формула перестановок.

.                                 (3)

Значит, Андрей может собрать календарь в  различных комбинациях.

Задача 3. Сколькими способами можно распределить 10 государств между 4 правителями? На рисунке 3 представлена иллюстрация к данной задаче.

Рисунок 3. Иллюстрация к задаче 3

Решение: В данной задаче используются сочетания с повторениями.

.                                      (4)

Соответственно,

.                                      (5)

Значит, целыми 286 способами земли могут распределяться между жадными правителями.

Задача 4. Сколькими способами можно прочитать слово «дорога», если двигаться вправо или вниз? На рисунке 4 представлена иллюстрация к данной задаче.

Рисунок 4. Иллюстрация к задаче 4

Решение: Логично, что двигаться можно только с первой буквы "Д". С каждым разом мы будем оказываться одной диагональю ниже, и перед новым ходом перед нами будет стоять выбор – двигаться вправо или вниз. При любой из этих возможностей мы вновь оказываемся на одну диагональ ниже и продолжаем читать слово "ДОРОГА". Так, способов прочитать слово "ДОРОГА" столько же, сколько возможностей последовательного пятикратного выбора из двух вариантов.

То есть

2⁵= 32.                                                      (6)

Задача 5. Проходит чемпионат Европы по биатлону. Спортсмены участвуют в эстафете. Российскую команду представляют: Антон Шипулин, Алексей Волков, Максим Цветков. Каждый из трех биатлонистов стреляет по мишени один раз, причем вероятность попадания 1-го спортсмена составляет 90%, второго – 80% ,а третьего – 70%. Найдите вероятность того, что двое из трех биатлонистов поразят мишень.

Решение:

     (7)

Таким образом, вероятность попадания по мишени двух биатлонистов из трех равна 0,398.

Также хочется обратить внимание на программу GeoGebra.

GeoGebra – это свободно распространяемая программа (математический пакет), использующаяся при обучении школьников и студентов в таких дисциплинах, как: геометрия, аналитическая геометрия, проективная геометрия, алгебра, теория чисел, математический анализ, теория вероятности статистика и другие смежные дисциплины.

Примеры решения задач в программе GeoGebra

Задача 6. Гарри выходит из Хогвартса и решает прогуляться по его территории и окрестностям. Найдите вероятность того, что Гарри окажется в деревне Хогсмид, учитывая, что назад в Хогвартс и назад по маршруту по прямой он возвращаться не будет. На рисунке 5 представлена иллюстрация к данной задаче.

Рисунок 5. Иллюстрация к задаче 6. Рисунок выполнен в программе GeoGebra.

Решение: Если смотреть по рисунку 5, всего получится 4 маршрута.

                          (8)

                     (9)

=                                     (10)

.                                     (11)

Так как речь идет о несовместных событиях, то вероятность того, что Гарри попадет в Хогсмид, равна сумме вероятностей .

.             (12)

Так, вероятность того, что Гарри попадет в Хогсмид, равна приблизительно 0,4. На рисунке 6 показано графическое решение задачи, выполненное в программе GeoGebra.

Рисунок 6. Графическое решение к задаче 6.

Задача 7. В Краснодаре бывает два типа погоды: хорошая и отличная. Известно, что установившись, погода держится неизменной весь день. Вероятность того, что погода завтра будет такой же, как сегодня, равна 0,7. Сегодня 13 февраля. Погода в городе отличная. Найти вероятность того, что 16 февраля погода в городе будет также отличной.

Решение. Для определения вероятностей того, что 16 февраля погода будет отличной, нужно построить дерево возможных вариантов в программе GeoGebra. Оно изображено на рисунке 7.

Рисунок 7. Дерево вариантов для задачи 7

Как видно из рисунка 7, Погода 16 февраля будет отличной в четырех ситуациях.

Найдём вероятности , , , .

                              (13)

                              (14)

                              (15)

                              (16)

Тогда вероятность того, что 16 февраля погода будет отличной, равна сумме вероятностей нескольких независимых событий.

То есть,

0,532.         (17)

Данные задачи придуманы с целью заинтересовать учащихся. Задания здесь сопровождаются интересным сюжетом и красочными иллюстрациями. К тому же, использование компьютерных технологий в глазах детей делает математику современной. Важно помнить, что все естественные процессы в мире протекают с определенной (высокой или низкой) долей вероятности. И некоторые из них допускают альтернативные варианты в своем развитии. Необходимо рефлексивной методикой обучения курсу комбинаторики и теории вероятности развивать у школьников стохастическую интерпретацию и семантическое понимание окружающего мира. В этом заключается основная задача обучения математике.

Список литературы:

1. Ларин С.В. Компьютерная анимация в среде GeoGebra на уроках математики. Изд.: Легион, Ростов-на-Дону, 2015 – 179 с.
2. Перельман Я.И. Занимательная математика. М.: МГИК, 1993 – 98 с.
3. Райгородский А.М. Комбинаторика и теория вероятности: Учебное пособие. Изд.: ИД Интеллект, 2013 – 104 с.