АНАЛИЗ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Когда мы решаем математические задачи и уравнения, мы можем использовать при решении специальные компьютерные программы, а не только ручной способ вычисления корня. Нахождение корня при помощи компьютерных программ позволяет найти более точное решение уравнения, а также можно заранее задать точность вычисления. На примере продемонстрируем, как в средах MS Excel и MathCAD находится корень уравнения разными способами [1].

Пусть дано уравнение f(x)=0 (1), где функция f(x) непрерывна на некотором множестве X. Значения переменной х, при котором данное уравнение обращается в тождество, является решением уравнения, а каждое отдельное значение является корнем уравнения.

Будем считать, что уравнение (1) имеет только действительные корни и нахождение этих корней можно проводить в два этапа:

• поиск промежутков, в которых имеется только один корень уравнения;
• уточнение каждого корня уравнения.

В качестве примера будем использовать следующее уравнение:  на интервале .

Графический метод отделения корней

Графический метод основывается на построении графика функции. Искомым отрезком [а;b], содержащим корень уравнения (1), будет отрезок оси абсцисс, который имеет точку пересечения графика с этой осью. Исходная функция будет выглядеть в виде разности двух более простых функций: F(x) = G(x)-G1(x). Далее будет построены два графика  = G(x) и  = G1(x). Корнем данного уравнения (1) будет являться точка пересечения двух графиков, а отрезок на оси абсцисс с корнем внутри и будет являться интервалом изоляции. Продемонстрируем графический метод с помощью программы Excel [2].

Разделим наше уравнение на 2 части, найдем значения (таблица 1) и построим график (рисунок 1): G(x) =  ; G1(x) = . А значение x возьмём с 0.1 до 1, с шагом 0.1.

Таблица 1.

Значения функций  = G(x) и  = G1(x)

Рисунок 1. График функций

Искомый корень уравнения находится в точке пересечения двух графиков, т.е. на отрезке [0.4;0.5].

Применим тот же самый способ в программе MathCAD. Как видно на рисунке ниже, мы получили тот график, что и в программе Excel, только в другом масштабе (рисунок 2).

Рисунок 2. Графический метод отделения корней в среде MathCAD

Искомый корень уравнения находится на отрезке [0,4;0,5].

Метод половинного деления

Для решения уравнения найденный ранее отрезок делится пополам точкой =  и если f()=0, то x – корень уравнения.

В первые ячейки столбца a и b мы записываем найденный ранее интервал [0.4;0.5]. В столбце F(a) вводится формула: COS(2/A2)-2*SIN(1/A2)+1/A2, а в столбце F(x) вводится формула: COS(2/B2)-2*SIN(1/B2)+1/B2. Далее, в следующем столбце находится сумма двух предыдущих столбцов. Со вторых строчек в столбце a и b действуют следующие правила. Если в ячейке A значение корня больше, чем в соответственной ячейке F, тогда записывается предыдущий корень из ячейки B, иначе предыдущий корень из ячейки A. Если в ячейке C значение корня меньше, чем в соответственной ячейке F, тогда записывается предыдущий корень из ячейки B, иначе предыдущий корень из ячейки С.  Когда модуль разности значений из столбцов a и b достигнет значения, при котором  модуль будет меньше E=0.001 (т.е. измерение происходит с точностью до одной тысячной), то в последнем столбце в нужной ячейке будет выведено “КОРЕНЬ”. Таким образом, будет найден точный корень уравнения (таблица 2).

Таблица 2.

Метод половинного деления в среде Excel

По такому же принципу находится корень уравнения в пакете MathCAD (рисунок 3). Сначала мы вводим нашу функцию (F(x)), указываем интервал (a₀ и b₀), вводим шаг (i). А также записываем условие (int a,b), при котором будет искаться точно значения корня - xc(a,b).

Рисунок 3. Метод половинного деления в среде MathCAD

Метод последовательных приближений

Исходное уравнение F(x) =  преобразуется к виду x = φ(x). Если на рассматриваемом интервале изоляции корня [0.4; 0.5] |φ’(x)|<1, то расчетная формула имеет вид: =φ() и при этом итерационный процесс приближения к корню будет сходящимся. В решении данного метода мы воспользуемся следующим приемом.

Рассмотрим произвольный параметр λ>0. Тогда функцию φ(x) можно представить как φ(x) = x - λ∙F(x). Далее, изменяя параметр λ, добиваемся условия сходимости: |φ’(x)|<1 на [a;b]. φ’(x)=1-λ∙F’(x). Для выполнения сходимости λ=  на [a; b]. max|F’(x)| на (a; b) = max| + )|= 18 (при x=0.5) и λ =  .

Расчетная формула метода итерации примет вид:

= + ∙()

Решение данного метода в Excel представлено следующим образом. В столбце (i) берется наибольший интервал 0.5, найденный ранее. В столбце F(xi) записывается формула уравнения. Начиная с ячейки A3, вводится расчётная формула метода итерации, которая представлена выше. В итоге, если модуль значения F(xi) станет меньше E=0.001 (т.е. измерение происходит с точностью до одной тысячной), то в последнем столбце в нужной ячейке будет выведено “КОРЕНЬ”. Таким образом, будет найден точный корень уравнения (таблица 3).

Таблица 3.

Метод последовательных приближений в среде Excel

В пакете MathCAD решение идентичное и представлено ниже. Сначала вводим нашу функцию (F(x)), начальное значение (x₀) и шаг (i). Затем вводим формулу метода итерации и далее происходит процесс автоматического расчёта точного корня уравнения (рисунок 4).

Рисунок 4. Метод последовательных приближений в среде MathCAD

Проанализировав все представленные методы и их пути решения, самые точные результаты были получены в среде Excel. Но в среде MathCAD решать уравнения удобнее, потому что в ней уже заложены специальные формулы, которые позволяют найти более точное значение, в то время как в Excel такой функции нет. Стоит иметь в виду, что уточнение корня напрямую зависит от заданной точности - чем меньше она будет, тем точнее будет корень.

Список литературы:

1. Елизарова Е.Ю. Компьютерная математика. – Н.Новгород: НГПУ, 2013. –80 с.
2. Ершов В.Н. Численные методы. Учебно-методическое пособие. – Н.Новгород: ВГИПУ. – 2009. – 49с.