Статья опубликована в рамках: XLVII Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов: МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ» (Россия, г. Новосибирск, 21 июня 2018 г.)
Наука: Математика
Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции
дипломов
СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА КАНТОРА
Рассмотрим множество всевозможных бесконечных троичных дробей вида у которых
при любом к равно либо 0, либо 2, допуская при этом периоды, состоящие из нуля, двойки и их всевозможных комбинаций.
Такое числовое множество называется множеством Кантора и обозначается через Р0. Изучим свойства множества Р0.
1. Очевидно, что всякое число удовлетворяет условиям:
, откуда вытекает ограниченность множества Р0.
2. Множество Р0 совершенно, т. е. любая его точка есть предельная для него, потому что для любой точки и любого
можно найти точки того же множества, не совпадающие с
и отличающиеся от него меньше чем на
(лежащие в окрестности
. Это будет достигнуто, если вместо одного из
поставить
или, наоборот, подобрав при этом
так, чтобы
. Все предельные точки Р0 принадлежат ему, так как дробь, которая не может быть записана только нулями и двойками, не может быть предельной точкой для дробей, входящих в Р0.
Действительно, возьмем число , принадлежащее сегменту [0, 1] и не принадлежащее множеству Р0. Тогда при некотором
окажется, что
, в то время как
не являются все только единицами или только нулями (в противном случае число х принадлежало бы Р0, так как его можно было бы записать при помощи только нулей и двоек). Одновременно окажется, что весь интервал
, , будет составленным из чисел, которые нельзя записать при помощи только нулей и двоек. Таким образом, из предположения, что х не принадлежит Р0, следует существование некоторой окрестности
, целиком состоящей из чисел, не принадлежащих Р0. Следовательно, любая точка (число) х, не принадлежащая множеству Р0, не может быть предельной для множества Р0; следовательно, множество Р0 содержит все свои предельные точки и является замкнутым.
Попутно мы доказали, что множество, дополнительное к множеству Р0, относительно сегмента [0, 1] является множеством открытым.
3. Любая точка множества Р0 есть предельная для него.
4. Множество Р0 содержит все свои предельные точки и является замкнутым. Известно, что объединение счетного числа открытых множеств (смежных интервалов) открыто, а дополнение открытому множеству – замкнуто.
5. Множество, дополнительное к множеству Р0, относительно сегмента [0, 1] является множеством открытым.
6. Это множество нигде не плотно на прямой, так как между любыми двумя дробями и
рассматриваемого вида, как угодно близкими, т. е. отличающимися только начиная с очень отдаленного знака
,
,
будут лежать дроби вида
, образующие (см. 2) промежутки, сплошь заполненные точками, не принадлежащими Р0.
7. Р0 обладает мощностью с. Действительно, поставим в соответствие каждой дроби , принадлежащей Р0, строго возрастающую последовательность
, где в качестве членов последовательности взяты в порядке возрастания те значения k для которых
. Это соответствие взаимно однозначно. Таким образом, Р0 эквивалентно множеству всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел, а это множество по соответствующей теореме имеет мощность с.
8. Нетрудно видеть, что множество Р0 может быть получено из сегмента [0, 1] последовательным делением его на три части точками деления , и удалением среднего интервала (
) (назовем это первым шагом удаления), затем делением каждого из оставшихся сегментов
вновь на три части и удалением из каждой из них среднего интервала (назовем это вторым шагом удаления) и так далее неограниченно:
(схематически это показано на следующем рисунке). Действительно, точки интервалов, удаленных из [0, 1] за первые n шагов,
Характеризуется тем, что в троичном разложении они имеют 1 по крайней мере на одном из n первых мест запятой. Наоборот, все оставшиеся точки сегментов после первых n шагов удаления могут быть изображены троичными дробями, имеющими только нули и двойки на первых n местах после запятой. Так, например, числа удаленного на первом шаге интервала записываются троичными дробями с 1 на первом месте после запятой. Аналагично на втором шаге будут удалены точки, второй двоичный знак которых I. Наоборот, все числа сегмента
с нулем на первом месте после запятой, в том числе и
, которая может быть записана в виде
и все точки сегмента
, в том числе и единица, которая может быть записана в виде
будут иметь на первом месте после запятой двойку.
9. На первый взгляд может показаться, что неограниченное удаление интервалов приводит к тому, что Р0 состоит только из концевых точек, не удаляемых вместе с интервалами. Это впечатление обманчиво. Нами показано, что Р0 обладает мощностью континуума, а концевых точек имеется лишь счетное множество, так как множество удаленных интервалов счетно на основании свойства 5. Поэтому , где А—счетное множество, есть множество не только непустое, но даже несчетное мощности с. Тем самым доказано, что Р0 содержит в себе, кроме концевых, и неконцевые (двусторонние) точки.
Список литературы:
- Богачев, В. И. Действительный и функциональный анализ [Текст]/ В.И. Богачев, О. Г. Смолянов Университетский курс. РХД, 2009. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6.
- Босс, В. Лекции по математике. Том 5. Функциональный анализ [Электронный ресурс]/ В. Босс КомКнига, 2005. ISBN 5-484-00190-0. 216 стр. http://www.fayloobmennik.net/2776255 (дата обращения 16.05.2018 г.)
- Вайнберг, М.М. Функциональный анализ [Электронный ресурс]/ М.М. Вайнберг Специальный курс для педагогических институтов. Просвещение, 1979. 128 стр. http://rgho.st/49518130 (дата обращения 12.05.2018 г.)
- Коровкин, П.П. Математический анализ [Текст]/ П.П. Коровкин, Учпедиздат, 1963
- Лузин, Н.Н. теория функций действительного переменного [Текст]/ Н.Н. Лузин, Учпедиздат, 1948
дипломов
Оставить комментарий