СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА КАНТОРА

Рассмотрим множество всевозможных бесконечных троичных дробей вида  у которых  при любом к равно либо 0, либо 2, допуская при этом периоды, состоящие из нуля, двойки и их всевозможных комбинаций.

Такое числовое множество называется множеством Кантора и обозначается через Р₀. Изучим свойства множества Р₀.

1. Очевидно, что всякое число  удовлетворяет условиям: , откуда вытекает ограниченность множества Р₀.

2. Множество Р₀ совершенно, т. е. любая его точка есть предельная для него, потому что для любой точки  и любого  можно найти точки того же множества, не совпадающие с   и отличающиеся от него меньше чем на  (лежащие в окрестности . Это будет достигнуто, если вместо одного из  поставить  или, наоборот, подобрав при этом  так, чтобы . Все предельные точки Р₀ принадлежат ему, так как дробь, которая не может быть записана только нулями и двойками, не может быть предельной точкой для дробей, входящих в Р₀.

Действительно, возьмем число , принадлежащее сегменту [0, 1] и не принадлежащее множеству Р₀. Тогда при некотором  окажется, что , в то время как  не являются все только единицами или только нулями (в противном случае число х принадлежало бы Р₀, так как его можно было бы записать при помощи только нулей и двоек). Одновременно окажется, что весь интервал , , будет составленным из чисел, которые нельзя записать при помощи только нулей и двоек. Таким образом, из предположения, что х не принадлежит Р₀, следует существование некоторой окрестности , целиком состоящей из чисел, не принадлежащих Р₀. Следовательно, любая точка (число) х, не принадлежащая множеству Р₀, не может быть предельной для множества Р₀; следовательно, множество Р₀ содержит все свои предельные точки и является замкнутым.

Попутно мы доказали, что множество, дополнительное к множеству Р₀, относительно сегмента [0, 1] является множеством открытым.

3. Любая точка множества Р₀  есть предельная для него.

4. Множество Р₀ содержит все свои предельные точки и является замкнутым. Известно, что объединение счетного числа открытых множеств (смежных интервалов) открыто, а дополнение открытому множеству – замкнуто.

5. Множество, дополнительное к множеству Р₀, относительно сегмента [0, 1] является множеством открытым.

6. Это множество нигде не плотно на прямой, так как между любыми двумя дробями  и  рассматриваемого вида, как угодно близкими, т. е. отличающимися только начиная с очень отдаленного знака

,

,

будут лежать дроби вида  , образующие (см. 2) промежутки, сплошь заполненные точками, не принадлежащими Р₀.

7. Р₀ обладает мощностью с. Действительно, поставим в соответствие каждой дроби , принадлежащей Р₀, строго возрастающую последовательность , где в качестве членов последовательности взяты в порядке возрастания те значения k для которых . Это соответствие взаимно однозначно. Таким образом, Р₀ эквивалентно множеству всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел, а это множество по соответствующей теореме имеет мощность с.

8. Нетрудно видеть, что множество Р₀ может быть получено из сегмента [0, 1] последовательным делением его на три части точками деления  , и удалением среднего интервала  () (назовем это первым шагом удаления), затем делением каждого из оставшихся сегментов  вновь на три части и удалением из каждой из них среднего интервала  (назовем это вторым шагом удаления) и так далее неограниченно:

(схематически это показано на следующем рисунке). Действительно, точки интервалов, удаленных из [0, 1] за первые n шагов,

Характеризуется тем, что в троичном разложении они имеют 1 по крайней мере на одном из n первых мест запятой. Наоборот, все оставшиеся точки сегментов после первых n шагов удаления могут быть изображены троичными дробями, имеющими только нули и двойки на первых n местах после запятой. Так, например, числа удаленного на первом шаге интервала  записываются троичными дробями с 1 на первом месте после запятой. Аналагично на втором шаге будут удалены точки, второй двоичный знак которых I. Наоборот, все числа сегмента  с нулем на первом месте после запятой, в том числе и  , которая может быть записана в виде  и все точки сегмента  , в том числе и единица, которая может быть записана в виде  будут иметь на первом месте после запятой двойку.

9. На первый взгляд может показаться, что неограниченное удаление интервалов приводит к тому, что Р₀ состоит только из концевых точек, не удаляемых вместе с интервалами. Это впечатление обманчиво. Нами показано, что Р₀ обладает мощностью континуума, а концевых точек имеется лишь счетное множество, так как множество удаленных интервалов счетно на основании свойства 5. Поэтому , где А—счетное множество, есть множество не только непустое, но даже несчетное мощности с. Тем самым доказано, что Р₀ содержит в себе, кроме концевых, и неконцевые (двусторонние) точки.

Список литературы:

1. Богачев, В. И. Действительный и функциональный анализ [Текст]/ В.И. Богачев, О. Г. Смолянов Университетский курс. РХД, 2009. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6.
2. Босс, В. Лекции по математике. Том 5. Функциональный анализ [Электронный ресурс]/ В. Босс КомКнига, 2005. ISBN 5-484-00190-0. 216 стр. http://www.fayloobmennik.net/2776255 (дата обращения 16.05.2018 г.)
3. Вайнберг, М.М. Функциональный анализ [Электронный ресурс]/ М.М. Вайнберг Специальный курс для педагогических институтов. Просвещение, 1979. 128 стр. http://rgho.st/49518130 (дата обращения 12.05.2018 г.)
4. Коровкин,  П.П. Математический анализ [Текст]/ П.П. Коровкин, Учпедиздат, 1963
5. Лузин, Н.Н. теория функций действительного переменного [Текст]/ Н.Н. Лузин, Учпедиздат, 1948