КОВЕР СЕРПИНСКОГО

Прежде, расскажем о парадоксальных задачах, связанных с коврами.

Первая задача, называется «немного о надкусывании».

Представьте себе, что вы выдрессировали крыс — они научились отгрызать ровно половину наличного сыра. Если вы будете выпускать их на сыр не всем гуртом, а по одной, то каждая следующая откусит половину от того, что осталось, а оставшаяся часть будет уменьшаться и уменьшаться с каждой надкусившей сыр крысой. Но если вы обзавелись бесконечным количеством крыс, то в конце концов (смешно звучит по отношению к бесконечности, зато честно) от сыра ничего не останется. Действительно, первая ест одну вторую сыра, вторая — одну четвёртую, т.е. половину от половины, третья — одну восьмую, т.е. половину от половины от половины. Всё съеденное считается так: .

а значит, крысы к концу бесконечности съедят весь сыр, что вы им выдали.

А вот если вы будете натаскивать грызунов на выкус одной третьей от всего наличного, всё будет несколько хитрее. Первая съест одну третью. Но вторая — не одну девятую. Почему?

Объяснение довольно просто. После того, как съела свою долю первая крыса, осталось  сыра, а значит, вторая крыса съест  от  , т.е. . Третья, как можно посчитать, съест  от  т.е. , четвёртая —  от , т.е. поняли принцип? В конечном счёте от сыра всё равно ничего не останется.

Теперь представьте, что вы разделили сыр пополам, и одну из частей (половин, но об этом крысы не знают) объявили запретной — например, посыпали ядом, — а от второй разрешили крысам откусывать половину. Как вы догадались, от разрешённой половины ничего не останется, а запретная останется вся.

Особо любопытна такая дрессировка крыс, при которой никакую половину сыра вы ядом не посыпаете, но что-то вам достаётся всё равно (это чтобы вы не отравились). Для этого, например, можно выучить крыс откусывать  от стартового количества сыра. По окончании бесконечного обеда крысы оставят вам 1/3 сыра — это считается следующим образом:

.

В нашем случае от пяти надо отнять два, выйдет три, а если один поделить на три, выйдет как раз одна третья.

Если вы по какой-то причине пропустили эту цифирь, значит, вернётесь к ней через пару минут. Или лет. Или по прочтении поста. Или по вторичном прочтении. Или в следующей жизни. В конце концов, человек только тогда достигает совершенства, когда в одной из прошлых жизней он был математиком.

Но даже если вы вернётесь к цифири только в следующей жизни, вы неизбежно запомните вот это вот: .

Вторая задача называется «Немного о раскалывании».

Представьте, что вы решили повесить на стену тарелку. В доме нет ни клея, ни скотча — только гвозди. Вы пытаетесь прибить тарелку гвоздём, и она, разумеется, раскалывается на некоторое число кусочков. Кроме того, в месте, по которому вы ударили гвоздём, выкрошилось напрочь некоторое количество тарелки.

Но вы упорны. И вы пытаетесь прибить к стенке каждый осколок тарелки. Может быть, берёте гвозди поменьше. Разумеется, каждый из осколков крошится на свои, более мелкие осколки, а в серединках бывших осколков что-то безвозвратно выкрашивается. Ну и пусть.

Если быть бесконечно упорным и пытаться прибить осколки, получившиеся в результате бесконечного числа попыток, не останется ни кусочка тарелки, который не был бы проткнут гвоздём и не нёс бы выкрошенной дырочки. Но, как вы уже можете догадаться, вовсе не обязательно, что от тарелки ничего не останется. Всё зависит от того, как вы дрессировали ваши гвозди. Если они выкрашивают не слишком много тарелки, то общая площадь выкрошенного может быть и меньше, чем площадь оставшихся осколков. А может и больше — главное, что она будет меньше площади всей бывшей тарелки.

Польский учёный Вацлав Серпинский (1882-1969) не дрессировал крыс и не бил тарелки. Он был математиком. И самая известная его сюрреалистски-математическая акция заключалась в резьбе по салфеткам и коврам.

Рисунок 1. «Салфетка»          Рисунок 2. Ковер

Две наиболее известные фигуры, придуманные Серпинским — «салфетка» (треугольник, из которого последовательно вырезаются треугольники всё меньшего размера, каждый площадью вчетверо меньше предыдущего) и ковёр (квадрат с вырезкой из квадратиков, каждый квадратик площадью вдевятеро меньше предыдущего).

Площадь получившейся после бесконечного числа вырезок фигуры — как салфетки, так и ковра — равна нулю. Да и не совсем фигуры это. Тут следует остановиться и сформулировать отличие фигуры от линии. С одной стороны, фигура, вроде бы, имеет площадь, а линия её не имеет.    Ещё Евклид писал, что линия–это длина без ширины, а какая же площадь без ширины? Никакого раздолья! Но математиков это не удовлетворило, и они решили уточнить, что значит «без ширины». И договорились: если на чём-то выбрать точку и описать вокруг этой точки круг без границы (математики называют его деревенским словом «окрестность»), а потом начать его уменьшать, то если рано или поздно вся окрестность попадёт внутрь этого чего-то, то, значит, это была фигура. А если в окрестности всегда будут «чужие» точки, значит, это что-то было линия.

Так вот. Поскольку ковры и салфетки Серпинского раскалываются, как наша тарелка, всё мельче и мельче, и в центре каждого осколка есть «выкрошенная» зона, при бесконечном выкрашивании и раскалывании в окрестность любой сохранившейся точки фигуры Серпинского попадут «пустоты». Значит, это линия. Ну да, всё как положено: это хитрозапутанная линия, и площадь линии равна нулю.

Но если вырезать из ковра квадратики чуть меньшей площади, может выйти и так, что оставшаяся часть будет иметь площадь больше, чем ноль. Скажем, если выкинуть сперва одну двадцать пятую (квадратик со стороной, в пять раз меньше исходного), потом восемь квадратиков, в двадцать пять раз меньше вырезанного на первом шаге, потом — шестьдесят четыре меньших ещё в пять раз… словом, вспомните то, что я предлагал вам запомнить, и убедитесь, что вырежется из такого ковра всего 1/17 часть. А 16/17 останется. Но в окрестности любой точки того, что останется, всё равно будут дырки. Такая вот линия с площадью.

А ведь можно вырезать и ещё меньшие квадратики! Да и не обязательно квадратики, было бы чётко задано правило, по которому мы вырезаем дырки и раскалываем то, что осталось, на новые кусочки. В каждом кусочке должна появиться дырка — вот и весь секрет изготовления линий из фигур. А от размера дырок зависит, будут ли линии иметь площадь, или останутся «длиной без ширины».

Фигуры Серпинского — пожалуй, самые простые и самые красивые из известных мне фракталов.

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году.

Рисунок 3. Ковер                     Рисунок 4.  Ковер

Построение ковра Серпинского получается из квадрата последовательным выре­занием серединных квадратов. А именно, разделим данный квадрат на девять равных квадратов и серединный квадрат вырежем. Получим квадрат с дыркой. Для оставшихся восьми квадратов повторим указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты вырежем. Повторяя эту процедуру, будем получать все более дыря­вую фигуру. То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского.

Рисунок 5. Правильные способ вырезания квадратов на ковре Серпинского

Поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, в результате на ковре Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки.

Вычислим площадь ковра Серпинского, считая исходный квадрат единичным. Для этого достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов. На первом шаге выреза­ется квадрат площади . На втором шаге вырезается восемь квадратов, каждый из которых имеет площадь .

На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз. Таким образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессий с начальным членом  и знаменателем . По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что это число равно единице, т. е. площадь ковра Серпинского равна нулю.

Возьмем теперь квадрат площадью, равной двум, и вырежем из него квадрат с тем же центром площадью . Оставшуюся часть представим в виде восьми прямоугольников и в каждом из них вырежем квадрат с тем же цент­ром площади . Таким образом, суммарная площадь маленьких квадратов будет равна . Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру, которую также называют ковром Серпинского.

 Также, как и раньше, в этом ковре Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки. Однако, в отличие от обычного ковра Серпинского его площадь отлична от нуля. Действительно, площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальным членом   и знаменателем , т. е. равна 1. Поэтому площадь оставшейся части равна единице.

Можно рассмотреть треугольник и ковер Серпинского на комплексной плоскости и применяем к нему различные преобразования комплексной плоскости. Например, пусть треугольник Серпинского построен на единичном отрезке действительной оси.

И теперь применим к комплексной плоскости преобразование инверсии относительно центра треугольника: . Тогда получим следующую картинку (Рисунок 6).

Рисунок 6. Инверсия относительно центра

Ниже приведены картинки для .

Рисунок 7. Узор для

Тоже самое можно сделать и с ковром Серпинского. Пусть он построен на единичном квадрате.

Преобразование инверсии относительно центра ковра имеет вид .

Рисунок 8.  Преобразование относительно центра ковра

Также можно применить инверсию относительно угла или возвести в квадрат.

Рисунок 10. Инверсия относительно угла

Список литературы:

1. Вайнберг, М.М. Функциональный анализ [Электронный ресурс]/ М.М. Вайнберг Специальный курс для педагогических институтов. Просвещение, 1979. 128 стр. http://rgho.st/49518130 (дата обращения 12.05.2018 г.)
2. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, М.:Наука. 1981
3. Макаров, И.П. Дополнительные главы математического анализа [текст]/ И.П. Макаров. Учебное пособие для студентов физико-математичсеких факультетоа. Просвещение, М.: 1968
4. Морозов, А.Д. Введение в теорию фракталов [Текст]/ А.Д. Морозов, М .: «Институт компьютерных исследований», 2002.
5. Садовничий, В. А. Теория операторов [Текст]/ В. А. Садовничий  5-е изд. Дрофа, 2004. 384 стр. ISBN 5-7107-8699-3.