МЕТОД СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Большое применение в математическом анализе, алгебре, теории дифференциальных и интегральных уравнений имеет метод сжатых отображений. Описание его сущности начнем с примеров.

1. На числовой прямой дан сегмент [a, b]. Проведем его сжатие. Это значит, что его концы переместятся в новые точки  . Точки, ранее занимавшие положение , переместятся в точки  и т.д. Интуитивно можно предположить, что на сегменте [a, b] существует точка c которая при его сжатии останется неподвижной.

Точнее говоря, сегмент [a, b], мы ставим в соответствие некоторую точку , которая является отображением точки x.

Неподвижная точка, если она существует, удовлетворяет равенству

.

2.  Пусть на сегменте [a, b] задано множество E функций , таких, что , где – некоторое заданное положительное число. Функцию  мы будем называть «точкой» множества E. Если каждой точке  поставлена в соответствие некоторая точка  того же множества, то будем говорить, что задано отображение A множества E на себя. Примеры таких отображений:

а) пусть на сегменте [0,1] задано множество E функций , . Поставим функции  в соответствие функцию . Тогда ;

б) положим, что на сегменте  задано множество E функций , где a – данное действительное число, n=1, 2, 3,… . Поставим в соответствие каждой функции  функцию .  Тогда .

Пусть на сегменте [a, b] задано некоторое ограниченное множество E функций  и задано отображение A, такое, что .

Рассмотрим теорему о замкнутых шарах.

Для полных метрических пространств оказывается справедливой теорема, аналогичная известной теореме Кантора о стягивающихся последовательности сегментов. Прежде чем формулировать и доказывать эту теорему, введем определение замкнутого шара.

Определение 1. Множество всех точек метрического пространства R, находящихся от данной точки  на расстоянии , меньшем или равном заданному числу r, называется замкнутым шаром. Точка  называется центром этого шара.

Теорема 1. Последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров , принадлежащих полному метрическому пространству R:

,

Радиусы которых стремятся к нулю при , имеет единственную общую точку.

Доказательство. Последовательность  центров шаров фундаментальна, так как всякий следующий шар лежит в предыдущем вместе со своим центром. Для любого

При достаточно большом k. Предел фундаментальной последовательности

                                                  (1)

Благодаря полноте пространства R существует и принадлежит R.  Рассмотрим любой шар  последовательности  . По определению внутри этого шара лежат шары и их центры. Следовательно, внутри шара  лежит и предельная точка  множества центров  шаров благодаря замкнутости шара . Так как взятый нами номер m произволен, точка  принадлежит всем шарам последовательности. Двух точек, общих для всех шаров последовательности, быть не может, так как две точки, находящиеся на конечном расстоянии друг от друга, не могут одновременно принадлежать одному и тому же шару диаметра меньше, чем расстояние между точками.

Применение метода сжатых отображений в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Пусть в пространстве С, составленном из непрерывных функций   задано отображение

,

где  — непрерывная функция, удовлетворяющая в области G (, где a, b, M, N – заданные числа) условию Липшица, т.е. для любых двух точек (),  выполняется условие:

,

где  — некоторое неотрицательное число, определяемое областью  и не зависящее от положения точек (), . Покажем, что рассмотренное отображение является сжатым при условии достаточной малости .

Действительно, пусть у и  — произвольные точки пространства :

,

где  при .

Из полноты пространства С вытекает существование единственной неподвижной точки сжатого отображения А, т. е. существование единственного непрерывного решения уравнения  или интегрального уравнения

,                                                  (2)

при выполнении условий:

а)  удовлетворяет условию Липшица с константой ;

б)

.                                                                               (3)

Так как интегральное уравнение (2) эквивалентно дифференциальному уравнению

                                                        (4)

с начальными условиями у₀ = у(х₀), то тем самым нами доказана теорема существования и единственности решения для дифференциального уравнения (4) при выполнении условий (3).

Рассматривая решение дифференциального уравнение (4) как предел последовательности функций:

мы можем считать функции   ... последовательными приближениями решения. Вытекающий отсюда метод построения последовательных приближений решения уравнения (4) был введен в математику французским ученым Пикаром на основе несколько иного подхода к этому вопросу. Нетрудно найти оценку модули разности:

,

где у(х) — искомое решение,  — его n-е приближение,  — число, удовлетворяющее условию:

.

Применение метода сжатых отображений в алгебре.

Рассмотрим алгебраическое или трансцендентное уравнение

.                                                        (5)

К такой форме приводится любое уравнение вида . Предположим, что функция  непрерывна, дифференцируема в промежутке [а, b] и удовлетворяет в этом промежутке условиям:

 при    .

В этих условиях уравнение (5) имеет в промежутке  единственный действительный корень. Доказывается это также методом сжатых отображений. Рассмотрим множество действительных чисел. как полное метрическое пространство с: метрикой , отображаемое в себя, и положим, что отображение . Если мы докажем сжатость этого отображении, то тем самым будет доказано существование единственной неподвижной точки х, или, другими словами, существование единственного действительного корня уравнения .

Для доказательства сжатости отображения Ах найдем, как и прежде, выражение для расстояния  через расстояние :

,                       (6)

так как по условию отображение сжатое. Следовательно, уравнение (5) имеет единственный действительный корень.

Пусть х₀ — произвольная точка. Нетрудно видеть, что последовательность точек

Является фундаментальной и ее предел  (а он существует благодаря полноте [a, b]) есть искомый корень, а числа последовательности {} — его последовательные приближения. Можно найти и оценку точности этих приближений. Подставляя в (5) , получим:

.

Переходя к пределу при , будем иметь:

.

Применение метода сжатых отображений в математическом анализе.

Из многочисленных применений метода сжатых отображений в математическом анализе укажем только одно. Пусть функции  определена в области G:  непрерывна по х и имеет ограниченную производную по y, такую, что

Тогда уравнение

имеет единственное непрерывное решение на сегменте [а, b].

Рассмотрим полное метрическое пространство С всех непрерывных функций , определенных на сегменте [а, b], b отображение этого пространства в себя:

.

Повторяя тот же прием, что и ранее, докажем сжатость этого отображения. Пусть  — точки пространства С. Тогда

,

где .

Следовательно, для любой точки  последовательность

сходится и  есть единственное непрерывное решение уравнения (4), определенное на сегменте [а, b], и его последовательными приближениями являются функции .... Рассуждая так же, как и в предыдущих случаях, получим оценку:

,

совпадающую по форме с оценкой, приведенной в предыдущем параграфе.

Доказанная теорема существования неявной функции находит себе следующее практическое применение: пусть требуется вычислить значение непрерывной функции  для данного значения аргумента в том случае, когда непосредственное вычисление этого значения затруднительно. Тогда записывают данную функцию в неявном виде , и если  непрерывна и имеет ограниченную производную по у:

,

То

,

где  откуда получают:

.

Значение  неизвестно, его заменяют приближенным значением  и далее пользуются итеративной формулой:

                                     (7)

Так, например, для вычисления квадратного корня из числа рассматривают функцию

формула для которой приобретает вид:

(процесс Герона). Если в этой формуле положить у₀=1, 4, то уже на втором шаге получается результат с точностью до . Метод итерации широко применяется в вычислительной практике.

Обращаем внимание читателя на общность методов последних » трех параграфов, несмотря на различие областей применения метода сжатых отображений. Перечисление применения метода сжатых отображений можно было бы продолжить, но это уже далеко выходило бы за пределы задач.

Список литературы:

1. Макаров, И.П. Дополнительные главы математического анализа [текст]/ И.П. Макаров. Учебное пособие для студентов физико-математичсеких факультетоа. Просвещение, М.: 1968
2. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы [Текст]/ Б. Мандельброт, М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
3. Морозов, А.Д. Введение в теорию фракталов [Текст]/ А.Д. Морозов, М .: «Институт компьютерных исследований», 2002.
4. Садовничий, В. А. Теория операторов [Текст]/ В. А. Садовничий  5-е изд. Дрофа, 2004. 384 стр. ISBN 5-7107-8699-3.
5. Треногин, В.А. Функциональный анализ [Текст]/ В.А. Треногин Учебник. 3-е изд. ФИЗМАТЛИТ, 2002. 488 стр. ISBN 5-9221-0272-9