ПОЛНОТА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Определения 1. Последовательность точек метрического пространства R называется фундаментальной, если  при m, n.

Определения 2. Метрическое пространство R называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится ,m. e. Если для каждой фундаментальной последовательности  существует  такая точка ,что .

На основании этих определений легко обобщается на полные метрические пространства необходимый и достаточный признак Коши сходимости последовательности.

Теорема 1. Для сходимости последовательности точек полного метрического пространства необходима и достаточна ее фундаментальность.

Доказательство. Докажем сначала необходимость. Пусть . Точка для любого сколь угодно малого  найдется таксе N, что для всех m, n>N будет выполнять неравенства:

Складывая эти неравеноства и применяя аксиому треугольника, получаем:

Достаточность следует из определения 2.

Все рассмотренные ранее метрические пространства ,C,

 ,, полны. Проверим это.

1) Пространство .Сходимость последовательности точек этого пространсва, как известно [10, стр.401] равносильна сходимости по координатам. Таких образом, из сходимости ,  что мы предполагаем данным, следует сходимость

, l=1, 2, …, n. Так как предел каждой сходящейся последовательности координат  (как последовательности действительных чисел) является числом действительным, то точка ,  а это и означает полноту пространства .

2) Пространсво С. Как следует из определения расстояния в пространстве С, сходимость последовательности точек пространства С свидится к равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. Пределом такой последовательности является непрерывная функции[Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциальных уравнений, т. 2, 1947, стр.453] ,т.е элемент того же пространства С.

3) Пространства  .Для доказательства полноты пространства  будем считать ,что некоторая последовательность точек  фундаментальна, и докажем, что она сходится, т. е. что в пространстве  существует точка , такая что  .

Возьмем произвольное .Так как дана я последовательность является фундаментальной, то для этого  найдется такое чисто N,что для всех k, l расстояние   или

.                                              (1)

Отсюда для любого i и любого k, . Следовательно, последовательности , i=1,2,… фундаментальны, каждая из них сходится к действительным пределам. Обозначим  и рассмотрим последовательность . Докажем, что эта последовательность является элементом пространства . Из (1) следует:

,

Откуда

,

При любом m. Пусть в последнем неравенстве . Тогда в пределе получим:

при любом m, а, следовательно,

Отсюда и из сходимости ряда  следует сходимость ряда , что и доказывает принадлежность последовательности  к пространству .

Полнота пространства  следует из доказанного как частный случай.

Перейдем к доказательству полноты . Пусть  фундаментальная последовательность векторов в этом пространстве, а  компоненты этих векторов, Так как , то при каждом  фундаментальна числовая последовательность . Из полноты R следует, что есть сходимость: .  Остается проверить, что вектор  с компонентами  принадлежит и является в  пределом последовательности . Из неравенства   при   следует, что

для любого . Переходя к пределу при  , получим

.

Так как это верно для любого р , то ряд с членами  сходится, то  есть  причем для  .

.

Но тогда , а  означает, что .

4) Пространство  полны (доказательство этого факта приведено в Л.А. Люстерник, В.И. Соболева)

5) Пространство m полно. Пусть  – фундаментальная последовательность элементов пространства m. Это значит, что для любого  , что для всех  выполняется неравенство . Так как

,

,                                                     (2)

для любого i. Отсюда следует, что последовательность действительных чисел  фундаментальна, т.е. существует предел

.

Заставив n стремиться к бесконечности в неравенстве (2), получим:

,

откуда

.

Следовательно,

,

т.е. последовательность  ограничена и, значит, она принадлежит пространству m.

6) Докажем полноту пространства .

Пусть  фундаментальная последовательность функций в этом пространстве, а  значения этой функции. Так как при .

,

То при каждом t фундаментальная числовая последовательность . Из полноты R следует сходимость . Остается проверить, что  это значения функции из  и что к этой функции сходятся  в .

Из неравенства  при  следует, что для всех  .

Переходя к пределу при  отсюда получим:

.

Это означает, что функция  сходится к  равномерно. Как известно, равномерный предел непрерывных функций непрерывен. Итак,  и в этом пространстве является пределом . Поэтому  полно и  банохово пространство.

Напомним, что нормированное векторное пространство полное в метрике, порожденной нормой, называется банаховым пространством.

7) легко убедится в том, что пространство  не полно.

Рассмотрим, например, последовательность непрерывных функций

Она фундаментальна в , так как

.

Откуда она не сходится ни к какой функции из . Действительно, пусть f – некоторая функция из  и  – разрывная функция, равная -1 при  и +1 при .

В силу интегрального неравенства Минковского (справедливого, очевидно, и для кусочно – непрерывных функций) имеем

.

В силу непрерывности функции  f интеграл в левой части отличен от нуля. Далее, ясно, что

.

Поэтому  не может стремится к нулю при .

Список литературы:

1. Александров, П.С. Введение в общую теорию множеств и функций [Текст]/ П.С. Александров, Гостехиздат, 1948
2. Богачев, В. И. Действительный и функциональный анализ [Текст]/ В.И. Богачев, О. Г. Смолянов Университетский курс. РХД, 2009. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6.
3. Кириллов, А. А. Теоремы и задачи функционального анализа  [Текст]/ А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани 2-е изд., перераб. и доп. Москва "Наука", 1988. 400 стр.
4. Хелемский, А. Я. Лекции по функциональному анализу [Электронный ресурс]/ А. Я. Хелемский МЦНМО, 2004. 552 стр. ISBN 5-94057-065-8. http://rusfolder.com/33396508 (дата обращения 15.05.2018 г.)
5. Шилов, Г. Е. Математический анализ [Текст]/ Г. Е. Шилов Cпециальный курс. ГИФМЛ, 1961.