ТАБЛИЦЫ ИНТЕГРАЛОВ, РЯДОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ. ЧАСТЬ 1: КОМБИНАЦИИ ЛОГАРИФМОВ И ЭКСПОНЕНТ

1. Введение

Эта работа, посвященная оценке определенных интегралов в таблице Градштейна и Рыжика [2]. Рассмотрим здесь проблемы вида.

где t > 0-параметр, а P-многочлен. В будущей работе мы имеем дело с конечным интервальным случаем

где a, b ∈ R + с a < b и t ∈ R. Классический пример.

где γ - постоянная Эйлера, является частью этого семейства. Интегралы типа (1.1) являются линейными комбинациями

Значения этих интегралов выражаются через гамма-функцию

и его производных.

2.Оценка

В этом параграфе мы рассмотрим значение Jn (t), определенное в (1.4). Изменение переменные s = tx дают

Расширение мощности дает Jn как линейную комбинацию

Аналитическое выражение для этих интегралов можно получить непосредственно из представления гамма-функции в (1.5).

Предложение 2.1. 

Для n ∈ N имеем

В частности

Доказательство. Дифференцируем (1.5) n раз по параметру s.

Пример 2.2. 

Формула 4.331.1 в [2] утверждает, что

где δ = γ + ln μ. Это значение непосредственно следует из-за изменения переменных s = μx и классического специального значения Γ '(1) = -γ. Читатель найдет в главе 9 из [1] подробную информацию об этой константе. В частности, если μ = 1, то δ = γ и получаем (1.3):

Изменение переменных x = e-t дает форму

Многие оценки даны в терминах функции полигаммы

Свойства ψ суммированы в главе 1 статьи [4]. Простое представление

откуда мы заключаем, что

это является наиболее распространенным определением константы Эйлера γ. Это как раз тождество Г '(1) = -γ.

Производные ψ удовлетворяют

где

это является дзета-функцией Гурвица. Эта функция появилась в [3] при оценке некоторых логарифмических интегралов.

Пример 2.3. Формула 4.335.1 в [2] утверждает, что

где δ = γ + ln μ, как и раньше. Это можно проверить, используя описанную выше процедуру: изменение переменной s = μx дает

где In определено в (2.4).  Для завершения оценки нам понадобятся некоторые специальные значения: Γ (1) = 1 элементарно, Γ '(1) = ψ (1) = -γ выше, и используя (2.11), имеем

Значение

где z (z) = z (z, 1) - дзета-функция Римана, исходит непосредственно из (2.11). таким образом

Пусть μ = 1 в (2.13) для получения

Аналогичные рассуждения дают формулу 4.335.3 в [2]:

где, как обычно, δ = γ + ln μ. Теперь частный случай μ = 1 дает

Использование оценки

производит

Задача 2.4. В [1], стр. 203 мы ввели понятие веса для некоторых действительных чисел. В частности, мы задали ζ (j) вес j. Дифференциация увеличивает вес на 1, так что ζ '(3) имеет вес 4. Задача состоит в том, чтобы проверить, что интеграл

является однородной формой веса n.

3. Небольшая вариация

Аналогичные рассуждения теперь используются для получения большего числа интегралов. Представление

дифференцируется n раз по отношению к параметру s для получения

Частный случай N = 1 дает

Эта оценка выглядит как 4.352.1 в [2]. Частный случай μ = 1 дает

это 4.352.4 в [2].

Особые значения гамма-функции и ее производных дают более конкретные оценки. Например, функциональное уравнение

что является прямым следствием Γ (x + 1) = xΓ (x), дает

Заменяя в (3.3) s = n + 1, получим

это 4.352.2 в [2].

Окончательная формула раздела 4.352 в [2] равна 4.352.3

Это также можно получить из (3.3), используя классические значения

Подробности оставляют читателю.

В разделе 4.353 из [2] содержатся три особые комбинации подынтегральных выражений. Первые два из них могут быть проверены с помощью описанных выше методов: состояния формулы 4.353.1

и 4.353.2 является

Список литературы:

1. G. Boros and V. Moll. Irresistible Integrals. 1st edition, 2004.
2. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series.
3. V. Moll. The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 1: a family of logarithmic integrals. Scientia, 13:1–8, 2006.
4. H. M. Srivastava and J. Choi. Series associated with the zeta and related functions. Kluwer 1st edition, 2001.