ВНЕСЕНИЕ ГРУПП В ДИСТРИБУТИВНЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА БИНАРНЫХ ОПЕРАЦИЙ

1. Введение

Пусть X - множество, а Bin (X) - множество всех двоичных операций на X. Будем говорить, что S ⊂ Bin (X) является дистрибутивным множеством операций, если все пары элементов * α, * β ∈ S являются правильными дистрибутивами, (a * α b) * β c = (a * β c) * α (b * β c) (допустим * α = * β). (X; S) называется многоуровневой в этом случае. Это наблюдалось в, что Bin (X) представляет собой моноид с составом * 1 * 2, заданный a * 1 * 2b = (a * 1 b) * 2 b, с тождество * 0 является правой тривиальной операцией, т. е. a * 0 b = a для любой a, b ∈ X.

Подмоноид Bin (X) всех обратимых элементов в Bin (X) равен группу, обозначенную  Bininv (X). Если * ∈ Bininv (X), то * -1 обычно обозначается ¯ *.

Будем говорить, что подмножество S⊂Bin(X) является дистрибутивным множеством, если все пары

элементов * α, * β ∈ S являются правильными дистрибутивами, то есть (a * α b) * β c = (a * β c) * α (b * β c) (допустим * α = * β). Была доказана следующая важная основная лемма:

Лемма 1.1.

(i) Если S - дистрибутивное множество, а * ∈ S обратимо, то S ∪ {*} ¯ также является дистрибутивным множеством.

(ii) Если S - дистрибутивное множество, а M (S) - моноид, порожденный S, то M (S) является дистрибутивным моноидом.

(iii) Если S - дистрибутивное множество обратимых операций, а G (S) - группа, порожденная S, то G (S) является дистрибутивной группой.

Вопрос был задан группе, которая может быть реализована как дистрибутивные множества. Вскоре после определения дистрибутивного подмоноида Bin(X) был дан в [1], Michal Jablonowski, заметил, что любой дистрибутивный моноид, элементы которого являются идемпотентными, является коммутативным. У нас есть:

Предложение 1.2.

(i) Рассмотрим * α, * β ∈ Bin (X), что * β является идемпотентным (a * β a = a) и дистрибутивным по * α. Тогда * α и * β коммутируют. В частности:

(ii) Если M - дистрибутивный моноид, а * β ∈ M - идемпотентная операция, то * β находится в центре M.

(iii) Распределяющий моноид, элементами которого являются идемпотентные операции является коммутативным.

Доказательство. Мы имеем: (a * α b) * β b distrib = (a * β b) * α (b * β b) idemp = (a * β b) * α b.

Несколько месяцев спустя проверили, что любая дистрибутивная группа в Bin inv (X) для | X | ≤ 5 является коммутативным.

Первая некоммутативная подгруппа группы Bin (X) (группа S3) была найдена в октябре 2016 года .

Построим вложение общей диэдральной группы D2 · n в Bin (X), где X имеет 2n элементов. вложение Бермана φ: D2 · 3 → Bin (X) задается следующим образом: if X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, то подгруппа D2 · 3 ⊂ Bin (X) порождается по бинарным операциям * τ (отражение) и * σ (3-цикл):

где i * j помещается в i-ю строку и j-й столбец, а D2 · 3 = {τ, σ | τστ = σ -1}.

2. Регулярное дистрибутивное вложение

Покажем теперь, что любую группу G можно вложить в Bin (X) для некоторого X.

Теорема 2.1. (Регулярное вложение)

Каждая группа G входит в Bin (G). Это вложение (мономорфизм), φ reg: G → Bin (G) отправляет g в * отправляет g в * g, где a * g b = ab-1gb.

Доказательство. (i) Проверяем, что множество {* g} g∈G является дистрибутивным множеством. У нас есть: (a * g1 b) * g2 c = (ab-1g1b) * g2 c = ab-1 g1bc-1 g2c и (a * g2c) * g1 (b * g2c) = (ac-1g2c) * g1 (bc -1g2c) = ab-1g1bc-1g2c, если необходимо. (ii) Теперь проверим, что отображение φreg является мономорфизмом. Конечно, образ тождества * 0 является тождеством в Bin (G). Более того: a * g1g2b = ab-1g1g2b, a * g1 * g2b = (a * g1b) * g2b = ab-1g1bb-1g2b = ab-1g1g2b, если необходимо.

Мы доказали, что φ reg является гомоморфизмом. Чтобы показать, что φ reg является мономорфизмом, подставим b = 1 в формулу для a * g b, чтобы получить a * g 1 = ag, поэтому разные g дают разные бинарные операции в Bin (G). Заметим, что φ reg (g -1) = * ¯g.

Назовем наше вложение регулярным по аналогии с регулярным представлением группы. Мы не утверждаем, что регулярное вложение минимально. На самом деле поиск минимальных дистрибутивных вложений - очень интересная проблема сама по себе.

3. Общие условия для дистрибутивного вложения

Обсудим теперь метод, который можно использовать для встраивания групп в подмножества Bin inv (X), удовлетворяющие заданному условию. Затем мы используем этот метод, когда условие является правильной дистрибутивностью, что заставило нас обнаружить регулярное дистрибутивное вложение G в Bin (G), а также должно стать естественным инструментом для поиска минимальных вложений. Для группы S3 мы, по расчетам , знаем, что X с шестью элементами является минимальным множеством, такое, что S3 вкладывается в Bin (X). 

Мы исходим из следующего основного наблюдения:

Лемма 3.1. Существует изоморфизм между Bininv (X) и S | X | X, где | X | - мощность | X | и SX - группа перестановок на множестве X (т. е. биекции множества X). Изоморфизм α: Bininv (X) → S | X | X = Πy∈X SyX описывается следующим образом: α (*) (y): X → X - биекция, где (α (*) (y)) (x ) = x * y. Другими словами, α (*) (y) - биекция, соответствующая y-координате S | х | х .

Используя отображение α, мы можем перевести условия на набор бинарных операций в Bin (X) в теоретико-групповое условие на (координаты) элементов S | X | X. С некоторой работой мы можем использовать это, чтобы найти вложение группы в Bin (X). Это возможно, так как аксиомы группы требуют, чтобы такое вложение находилось внутри Bin inv (X). Рассмотрим дистрибутивные обратимые множества S бинарных операций в Bin inv (X).. Это подмножества S ⊆ Bininv (X), которые удовлетворяют:

(x * iy) * jz = (x * jz) * i (y * jz), для всех * i, * j ∈ S и x, y, z ∈ X.

Пусть σi, y = pyα (* i), где py: S | X | X → SX - проекция на y-ю координату. Тогда перевод условия дистрибутивности через α

Теперь проблема вложения группы в Bin inv (X) сводится к нахождения подмножеств S | X | X, изоморфных группе, удовлетворяющей условию выше. Затем мы можем использовать инструменты теории групп (например, теорию представлений) для решения проблемы. Этот процесс можно попытаться для подмножеств Bin inv (X), удовлетворяющих любому условию, и привел к вложению, определенному в предыдущем разделе для дистрибутивных подмножеств.

4. Будущие направления; многоплановые гомологии

Мы определили многочленную гомологию для любого дистрибутивного множества в [1]. Это обеспечило мотивацию иметь примеры дистрибутивных множеств. Регулярное вложение группы (теорема 2.1) дает интересное семейство дистрибутивных множеств, готовых для изучения этой гомологии (сравните [5, 1, 2, 3,4]). В качестве нетривиального примера мы предлагаем вычислить n-кратные дистрибутивные гомологии, связанные с регулярным вложением циклической группы Zn. Другая проблема, связанная с Теорема 2.1 состоит в том, что моноиды являются дистрибутивными подмоноидами Bin (X). 

Ключевой мотивацией является использование многовременных дистрибутивных гомологий в теории узлов. Эта возможность возникает из-за отношения третьего Рейдемейстера двигаться с правильной дистрибутивностью.

Список литературы:

1. J. H. Przytycki, Распределительность и ассоциативность в теории алгебраических структур, Математика., 823-869.
2. J. H. Przytycki, Теория узлов и связанных с узлами распределяющих структур, стр.115.
3. J .H. Пшитыцкие, К. Путира, Гомология дистрибутивных решеток, Журнал гомотопии и связанных структур;
4. А. Кранс, Дж .H. Пшитыцкие, К. Путира, Кручение в одной термальной дистрибутивной гомологии и классифицировать пространство, в процессе подготовки.
5. J. H. Przytycki, A. S. Sikora, Распределительные произведения и их гомологии,   Modal Theory, Heldermann, Berlin, 1985.