МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Самый распространенный и один из самых плодотворных способов изучения математики, и как частный случай, геометрии, является решение задач. Можно знать огромное количество различных фактов и формул, теорем и их доказательств, но это навсегда останется бессмысленным и некому не нужным балластом, знаниями, которые не могут быть соответствующим образом применены в решении задач.

При изучении геометрии в средней школе возникает огромное количество самых разнообразных задач. В первую очередь это задачи на вычисления в планиметрии, в которых необходимо вычислять различные характеристики фигур, исходя из их свойств и соответственно формул, которые позволяют вычислить эти характеристики. Доказательные задачи, так же очень часто встречаются в геометрии, когда определённый факт нуждается в доказательстве. И применяя различные свойства геометрических объектов, и последовательно анализируя, можно построить решение задачи. Все эти задачи требуют построений, поэтому все они могут быть представлены в виде игры. Аналогичная ситуация имеется и в стереометрии.

Принципиально другая ситуация складывается когда задачи, которые условно можно назвать «математические игры», в которых на первое место выходит понятие стратегии, как оптимальной последовательности ходов, применяемых для достижения цели. Эти игры можно рассматривать как разделы теории игр, применённые для методики обучения математики и геометрии в средней школе.

Теория игр – математический метод исследования оптимальных стратегий в играх. Чаще всего эти методы используются в экономике, но на деле применяется и в других областях. В такой игре участие принимают два или более игроков, каждый из них хочет достичь своей цели, используя некоторую стратегию, которая может привести к выигрышу или проигрышу – в зависимости от выбора стратегии других игроков. Теория игр помогает выбрать наилучший исход с учетом ожидаемых стратегий других сторон, затем выбирается и применяется оптимальная стратегия.

В 1944 году была опубликована работа [5], которая много раз переиздавалась на протяжении последних 60 лет[4]. В этой книге были сформулированы такие понятия как «игра», «выигрыш», «проигрыш». Таким образом, по их мнению «игра» - это деятельность двух или более игроков имеющих стратегию, приводящую к «выигрышу» или «проигрышу», в свою очередь игроки взаимодействуя между собой, стремятся к «выигрышу», принятые ими решения основаны на поведении других игроков. Также описан, с математической точки зрения, способ поиска оптимальных стратегий, которые ведут к «выигрышу» с определенной вероятностью. В своей книге они, с помощью математики, описали поведение игроков соперничающих между собой (некооперативные игры).

В 1949 году Джон Нэш расширил теорию игр, допустив ситуации, когда игроки для достижения общей цели кооперируются и не конкурируют между собой (кооперативные игры). Он также ввел понятие «игр с ненулевой суммой», в которых выигрыш мог изменяться от действий игроков. Теория игр – это описание принятия решения, с помощью математики, игрока, оказавшегося смоделированной ситуации (игре). Все участники и процесс игры представлены в виде формул и параметров, а принятие стратегии сводится к системе комбинированных уравнений или к одному уравнению с несколькими неизвестными, чем больше неизвестных - тем длиннее уравнение.

В рассматриваемых играх можно предположить, что играют двое, при этом ходы делаются по очереди, причем ни один из игроков не может пропустить свой ход. Вопрос в теории игр, всегда один, за исключением игр на минимакс: кто побеждает – кто первый начинает игру, или второй?

Теория игр является сложной областью знания, при ее применении следует учесть, что слишком простое принятие стратегии может быть опасно для всего исхода игры. Эта дисциплина прививает, человеку принимающему решение, систематическую формулировку возможных способов поведения, оценки результатов исхода игры, и, возможно, самое главное – учета поведения других игроков. Человек, который знаком с такой областью знаний, как теория игр, чаще может избежать проигрыша, и всегда нацелен на выигрыш. Теория игр позволяет начать мыслить стратегически.

В теории игр встречаются помимо кооперативных и некооперативных игр, также симметричные и несимметричные игры. Симметричная игра – это игра, в которой соответствующие стратегии игроков будут равны, то есть имеют одинаковую плату. Если игроки в данной игре поменяются местами, их выигрыш за один и тот же ход не изменится. Многие игры, основанные на игре двух игроков – симметричные.

В несимметричной игре исход применения стратегии будет разным, то есть при выборе определенной стратегии у первого игрока результат будет больше, чем у второго, и наоборот, у второго игрока исход будет больше, чем у первого, равного исхода в данной игре быть не может.

Математические игры упоминаются еще в античной розничной торговле. Эти игры были в стиле — три плюс два равно четыре. По мере появления и развития финансовых и кредитных институтов, цифры, фигурирующие в математических играх, стали подрастать и увеличиваться. Играть стало интереснее и немножко опаснее. Математические игры уже достаточно давно используются в преподавании математики и геометрии. Е. Я. Гик написал книгу, посвященную математическим играм, в которой он представил логические задачи, головоломки и игры со словами. В книге «Занимательные игры и развлечения» рассказывается о том, как быстрее поставить на шахматной доске мат при симметричной игре. [2]

Рассмотрим возможности использования подобных игр на уроках геометрии.

Пример 1

На окружности расставлено 2n точек. За один ход и фоку разрешается соединить любые две точки отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередного хода. [1]

Это симметричная игра, в которой первый игрок выигрывает, приняв оптимальную стратегию. Допустим, что n=15, тогда получаем, что на окружности расставлено 30 точек. Первый игрок, выбирая оптимальную стратегию, первым ходом проводит отрезок, по обе стороны от которого находится по 14 точек. После выбора такой стратегии, на каждый ход второго игрока он отвечает аналогичным ходом по другую сторону этого отрезка. В данной ситуации исходом игры является «ничья», так как каждый игрок может завершить свой ход тем, что соединит две точки и при этом не пересечет отрезка, который проведен ранее.

Если n=22, то поступая аналогичным образом, мы получим, что на окружности расставлено 32 точки. Первый игрок первым ходом проводит отрезок, по обе стороны которого находится по 21 точке, на каждый ход второго игрока он отвечает аналогичным ходом по другую сторону этого отрезка. Исходом игры является то, что второй игрок не может соединить две точки, не пересекая других отрезков. Таким образом, выигрывает первый игрок.

В общем виде решение будет следующим: первым ходом первый игрок проводит отрезок, по обе стороны от которого расположено по (n-1) точки. После этого, на каждый ход второго игрока он отвечает аналогичным ходом по другую сторону от этого отрезка. Исход игры зависит от значений n. При n-четном всегда будет выигрывать первый игрок, при n-нечетном исходом игры будет ничья. При выборе таких стратегий первым игроком, стратегия второго игрока не имеет значения, так как он не может одержать победу, а только свести исход игры к ничьей.

Пример 2.

Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга (цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода. [1]

В этой игре выигрывает второй игрок. Центральная симметрия в данной задаче не позволяет достичь выигрыша ни одному из игроков (при правильной игре противника). Поэтому можно воспользоваться осевой симметрией шахматной доски. За ось симметрии возьмем прямую, разделяющую четвертую и пятую горизонтали, симметричные относительно нее поля имеют разный цвет, и, тем самым, слон, поставленный на одно из них, не препятствует ходу на другое. Таким образом, в данной игре выигрывает второй игрок.

Заключение

Эту область науки следует применять на уроках математики в любом школьном возрасте, при решении задач-игр дети смогут отвлечься, начать мыслить более свободно, но при этом важно научить их выбирать наиболее оптимальную стратегию, которая приведет их к выигрышу. У школьников развивается познавательный интерес, который носит поисковый характер. Он направлен не только на процесс познания, но и на его результат, а это всегда связано со стремлением к цели, с реализацией ее, преодолением трудностей, с волевым напряжением и усилием. [4]

Список литературы:

1. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Математический кружок. Игры. Симметричные стратегии. URL: http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=books.mk1.igry.simm&solution=1 (дата обращения 10.12.16)
2. Гик Е.Я. Занимательные игры и развлечения / Е. А. Гик, - «Занимательные игры и развлечения», М.:  Издательство «Детская литература», – 2001. – 238 с.
3. Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение / О. Моргенштерн, Дж. фон Нейман – «Теория игр и экономическое поведение», М.: Книга по Требованию, – 2012. – 708 с.
4. Рабунский Е.С. Индивидуальный подход в процессе обучения школьников. – М:. Педагогика, – 1975. – 250 с.
5. John von Neumann, Oskar Morgenstern: Theory of Games and Economic Behavior by John von Neumann and Oskar Morgenstern"). Bull. Amer. Math. Soc. 51 (07): 498–504