МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Понятие действительного числа можно ввести несколькими различными способами. В процессе счета возникают натуральные числа 1,2,3…n, … На множестве этих чисел операции вычитания и деления выполнимы не всегда. Приходится расширять множество натуральных чисел и приходим к отрицательным целым числам -1,-1,-3,…, -n,…, а затем к рациональным числам( , p и q целые числа и число 0).

Необходимость в рациональных числах возникает и в процессе измерений. Такая же потребность измерений приводит к дальнейшему расширению запаса чисел. Появляются иррациональные числа и комплексные числа.

Рассмотрим задачу об измерении отрезка. Введем числовую ось – прямую, на которой выбрали начало отсчета 0, масштабный отрезок ОЕ длины единицы и положительное направление (обычно от О и Е).

Всякому рациональному числу   на числовой оси соответствует определенная точка, т.к. отрезок длины  мы находить умеем. Существование несоизмеримых отрезков показывает, что не все точки на числовой оси соответствуют рациональным числам.

Покажем, что всякой точке М числовой оси можно поставить в соответствии вполне определенное число. Откладываем ОЕ на ОМ. Возможны два варианта:

1. ОЕ откладывается на ОМ целое число раз  с остатком . В этом случае - приближенный результат измерения отрезка ОМ по недостатку с точностью до единицы.
2. ОЕ откладывается на ОМ целое число раз  без остатка. В этом случае - результат измерения ОМ по недостатку с точностью до единицы. Остаток .

Далее возьмем  и откладываем его на NM. Снова возможны два варианта:

1.   откладывается  на NM целое число раз   с остатком PM, .  Полагаем  приближением по недостатку с точностью до .
2.  укладывается  на NM целое число раз  без остатка. Полагаем  приближением по недостатку с точностью до  . Остаток .  

Продолжая этот процесс неограниченно, получим совокупность бесконечных рациональных чисел Каждое  из этих рациональных чисел можно получить путем отбрасывания на соответствующем месте  десятичных знаков у дроби  Эту бесконечную десятичную дробь и поставим согласно точке М.

Итак, всем точкам числовой оси присваивается определенная бесконечная десятичная дробь. Число, представленное бесконечной десятичной дробью, назовем действительными или вещественным числом. Множество всех бесконечных десятичных дробей назовем множеством действительных чисел.

Показано, что каждая точка числовой оси соответствует одному действительному числу. В геометрии принята аксиома: каждое вещественное число соответствует одной точке на числовой оси. Таким образом, соответствие между точками числовой оси и действительными числами взаимно однозначно. 

К действительным числам входят и рациональные числа (. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Два действительных числа  и  называются равными, если …  Пусть  т.е. .  Если , то считаем  если a и b неотрицательны.

Если же a и b отрицательны, то при  считаем   Всякое отрицательное число меньше неотрицательного.

Таким образом, любые два действительных числа a и b удовлетворяют одному из соотношений  Это свойство называется свойством упорядоченности действительных чисел.

Список литературы:

1. Н.П.Миронов – Лекции по математическому анализу (Введение в анализ). Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов. ЕГПУ,2000.
2. А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова, «Я познаю мир: детская энциклопедия. Математика», Москва, ООО «Издательство АСТ», 2000.
3. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин, «За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. – 2-е изд.- М.: Просвещение, 1999.