МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

Рассматривается произвольная пространственная статически определимая система, состоящая из n узлов, в которой сходятся m стрежней, крепящихся в узлах сферическими шарнирами. На каждый узел может действовать система заданных сил, сходящихся в данном узле. Требуется определить реакции стержней.

Для определения усилий в стержнях существуют различные методы. Применим способ вырезания узлов, который позволяет решать задачу как аналитически, так и графически. Этот способ состоит в следующем: вырезают в последовательном порядке каждый из узлов и рассматривают силы, приложенные к вырезанному узлу. В число этих сил входят, во-первых, реакции перерезанных стержней, приложенные к вырезанному узлу, численно равные искомым усилиям в этих стержнях, и, во-вторых, могут входить заданные силы, приложенные в узлах и опорные реакции. Построив замкнутые силовые многоугольники для каждого узла, можно определить графически усилия в стержнях.

При аналитическом решении задачи составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому вырезанному узлу, и, решая эти уравнения, находят из них неизвестные силы.

Для каждого вырезанного узла системы получаем пространственную систему сходящихся сил, для которой можем составить три уравнения равновесия, а для системы в целом – 3n таких уравнений.  Подобные задачи решаются методами статики твердого тела, а сами конструкции называются статически определимыми.

Рассмотрим конструкцию, состоящую из двух узлов А и В, в которых сходятся шесть стержней. К узлам А и В приложены силы  .

Рисунок 1.

Введем систему координат и проектируем, силы, приложенные к узлам А и В, получим систему шести уравнений с шестью неизвестными:  R₁, R_2, R₃, R₄, R₅  и  R₆.

Для узла А:

                                              (1)

Аналогично для узла В:

                                             (2)

Эту систему можно записать в матричной форме  , откуда следует ее решение

. Матрицы систем (1) и (2) имеют вид: А =

R =             F =    

Полученную систему уравнений можно решить матричным методом, при этом проводя  исследования, изменяя параметры системы.

Рассмотрим решения системы для следующих значений параметров:

α ₁  = α₂ = α₃= α₄ = α₅ = 0,  α₆ = ,  β₁ = β₂ = β₄ = β₅ = β,  β₃ = 0,

F₁ = P,  F₂ = F₃ = F₄ = 0, γ₁ =  γ,  φ₁ = , θ – параметр, определяющий ориентацию силы Р в плоскости ХАZ.

Система уравнений равновесия, записанная в матричной форме , примет  вид:

 =                                                   (3)

Решение задачи (3) для значений параметров Р = 1,  β = γ =   запишем в таблицу:

Для значения параметра Р = 0,5  получили данные:

По полученным данным можно определить действительные реакции в стержнях, а по ним – усилия в стрежнях.

Программа определения усилий в стержнях простейших статически определимых ферм на основе матричных операций может быть использована студентами технических специальностей и инженерами – проектировщиками.

Список литературы:

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.
2. Воронков И.М. Курс теоретической механики. – М.: Наука, 1961. -596 с.
3. Лебедев В.А. Статика твердого тела на основе матричных методов с применением ЭВМ. Учебное пособие. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. – 232 с.