Телефон: +7 (383)-202-16-86

Статья опубликована в рамках: LXXXII Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов: МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ» (Россия, г. Новосибирск, 02 декабря 2019 г.)

Наука: Математика

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции

Библиографическое описание:
Бурмистрова И.А., Чупрунова Т.Ю. МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ // Научное сообщество студентов: МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ: сб. ст. по мат. LXXXII междунар. студ. науч.-практ. конф. № 23(82). URL: https://sibac.info/archive/meghdis/23(82).pdf (дата обращения: 05.06.2020)
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

Бурмистрова Ирина Андреевна

студент 2 курса Сердобского филиала Пензенского государственного университета,

РФ, г. Сердобск

Чупрунова Татьяна Юрьевна

студент 4 курса Сердобского филиала Пензенского государственного университета,

РФ, г. Сердобск

Научный руководитель Баскакова Юлия Ленфридовна

канд. социол. наук, преподаватель Сердобского филиала Пензенского государственного университета,

РФ, г. Сердобск

Рассматривается произвольная пространственная статически определимая система, состоящая из n узлов, в которой сходятся m стрежней, крепящихся в узлах сферическими шарнирами. На каждый узел может действовать система заданных сил, сходящихся в данном узле. Требуется определить реакции стержней.

Для определения усилий в стержнях существуют различные методы. Применим способ вырезания узлов, который позволяет решать задачу как аналитически, так и графически. Этот способ состоит в следующем: вырезают в последовательном порядке каждый из узлов и рассматривают силы, приложенные к вырезанному узлу. В число этих сил входят, во-первых, реакции перерезанных стержней, приложенные к вырезанному узлу, численно равные искомым усилиям в этих стержнях, и, во-вторых, могут входить заданные силы, приложенные в узлах и опорные реакции. Построив замкнутые силовые многоугольники для каждого узла, можно определить графически усилия в стержнях.

При аналитическом решении задачи составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому вырезанному узлу, и, решая эти уравнения, находят из них неизвестные силы.

Для каждого вырезанного узла системы получаем пространственную систему сходящихся сил, для которой можем составить три уравнения равновесия, а для системы в целом – 3n таких уравнений.  Подобные задачи решаются методами статики твердого тела, а сами конструкции называются статически определимыми.

Рассмотрим конструкцию, состоящую из двух узлов А и В, в которых сходятся шесть стержней. К узлам А и В приложены силы  .

Рисунок 1.

 

Введем систему координат и проектируем, силы, приложенные к узлам А и В, получим систему шести уравнений с шестью неизвестными:  R1, R2, R3, R4, R5  и  R6.

Для узла А:

                                              (1)

 

Аналогично для узла В:

                                             (2)

Эту систему можно записать в матричной форме  , откуда следует ее решение

. Матрицы систем (1) и (2) имеют вид: А =

R =             F =    

Полученную систему уравнений можно решить матричным методом, при этом проводя  исследования, изменяя параметры системы.

Рассмотрим решения системы для следующих значений параметров:

α 1  = α2 = α3= α4 = α5 = 0,  α6 = β1 = β2 = β4 = β5 = ββ3 = 0,

F1 = PF2 = F3 = F4 = 0, γ1γφ1 = , θ – параметр, определяющий ориентацию силы Р в плоскости ХАZ.

Система уравнений равновесия, записанная в матричной форме , примет  вид:

 =                                                   (3)

Решение задачи (3) для значений параметров Р = 1,  β = γ =   запишем в таблицу:

 

R1

R2

R3

R4

R5

R6

θ=0

0,00

0,00

-1,00

0,71

0,71

-1,41

θ =450

-0,50

-0,50

-0,71

0,50

0,50

-1,00

θ =900

-0,71

-0,71

0,00

0,00

0,00

0,00

θ =1350

-0,50

-0,50

0,71

-0,50

-0,50

1,00

θ =1800

0,00

0,00

1,00

-0,71

-0,71

1,41

θ =2250

0,50

0,50

0,71

-0,50

-0,50

1,00

θ =2700

0,71

0,71

0,00

0,00

0,00

0,00

θ = 3150

0,50

0,50

-0,71

0,50

0,50

-1,00

 

Для значения параметра Р = 0,5  получили данные:

 

R1

R2

R3

R4

R5

R6

θ=0

0,00

0,00

-0,50

0,36

0,36

-0,75

θ =450

-0,25

-0,25

-0,36

0,25

0,25

-0,50

θ =900

-0,36

-0,36

0,00

0,00

0,00

0,00

θ =1350

-0,25

-0,25

0,36

-0,25

-0,25

0,50

θ =1800

0,00

0,00

0,50

-0,36

-0,36

0,75

θ =2250

0,25

0,25

0,36

-0,25

-0,25

0,50

θ =2700

0,36

0,36

0,00

0,00

0,00

0,00

θ = 3150

0,25

0,25

-0,36

0,25

0,25

-0,50

 

По полученным данным можно определить действительные реакции в стержнях, а по ним – усилия в стрежнях.

Программа определения усилий в стержнях простейших статически определимых ферм на основе матричных операций может быть использована студентами технических специальностей и инженерами – проектировщиками.

 

Список литературы:

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.
  2. Воронков И.М. Курс теоретической механики. – М.: Наука, 1961. -596 с.
  3. Лебедев В.А. Статика твердого тела на основе матричных методов с применением ЭВМ. Учебное пособие. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. – 232 с.
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом