ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МНОЖЕСТВ. ПОНЯТИЕ МОЩНОСТИ. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

В математике определение множества обнаруживается одним из главных. Универсальность данного понятия в том, что под него можно подвести различную совокупность явлений, предметов и объектов реального мира. Сами же множества так же могут объединяться во множества.

Рассмотрим два конечных множества А и В. Если они имеют одинаковое количество элементов, то они называются равночисленными. В противном случае множества А и В неравночисленны. Но для того чтобы установить равночисленность или неравночисленость двух множеств, не всегда нужно подсчитывать количество и элементов. Например, для сравнения численности множеств юношей и девушек в аудитории, можно не подсчитывать количество элементов в каждом множестве, а каждому юноше поставить в пару девушку. [1, с. 21]

Если каждому элементу множества А можно по некоторому правилу поставить в соответствие один и только один элемент множества В и, наоборот, каждому элементу множества В по некоторому правилу можно поставить в соответствие один и только один элемент множества А, то говорят, что между элементами множеств А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

В этом случае множества А и В называют эквивалентными и записывают: А~B.

Очевидно, что равночисленные множества эквивалентны. И, наоборот, два эквивалентных конечных множества равночисленны. [4, с. 189]

Рассмотрим, как понятие эквивалентности множеств объясняет автор Макаров И.П. [5, с. 10]

Определение 1. Если каждому элементу  множества  по некоторому закону поставлен в соответствие один и только один элемент  множества и если при том каждому элементу  окажется поставленным в соответствие один и только один элемент , то между элементами   и  установлено взаимно однозначное соответствие (порядок расположения элементов в множестве при этом во внимание не принимается).

Определение 2. Если между элементами различных множеств   и  можно установить взаимно однозначное соответствие хотя бы по одному какому–нибудь закону, то эти множества называются эквивалентными. Это записывается в виде:

Нетрудно видеть, что из самого определения эквивалентности вытекают следующие свойства:

1.  (рефлексивность);
2. Если , то  (симметричность);
3. Если  и , то  (транзитивность).

Множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел, называется счетным множеством. Например, между множествами N={1, 2, 3, …, n, …} и A={-1, -2, -3, …, -n, …} можно установить взаимно-однозначное соответствие. Значит А~N и множество целых отрицательных чисел является счетным.

Если для конечных эквивалентных множеств мы говорили, что они равночисленны, то о бесконечных множествах будем говорить, что они равномощны, т.е. имеют одинаковую мощность. Все эквивалентные бесконечные множества характеризуются их мощностью.

Понятие мощности бесконечного множества аналогично понятию числа конечного множества. Мощность – обобщение понятия «количество» для бесконечных множеств. Оно позволяет сравнивать различные бесконечные множества.

Между двумя мощностями бесконечных множеств можно устанавливать отношения: «равенство», «больше», «меньше». Это дает основание назвать символы, обозначающие мощности бесконечных множеств, считать «числами». Георг Кантор назвал такие «числа» кардинальными (в отличие от натуральных), подчеркивая тем самым, что область определенных величин не исчерпывается конечными величинами. Понятие кардинального числа есть расширение, обобщение понятия числа вообще. Расширение понятия числа в область бесконечного означает переход математического мышления к качественно-новому этапу его развития.

Говорить о количестве элементов бесконечного множества бес­смысленно. Поэтому вводится понятие мощности множества. Говорят, что два эквивалентные между собой бесконечные множества имеют одинаковую мощность. Для конечных множеств понятие мощности совпадает с привычным понятием числа элементов. [4, с. 28]

Рассмотрим, как вводит понятие мощности и кардинального числа автор Макаров И.П. [5, с. 11].

Пусть дано произвольное множество A. Рассмотрим наряду с множеством A совокупность всех множеств, эквивалентных множеству A.

На основании свойства транзитивности все эти множества будут эквивалентны между собой.

Назовем такую совокупность классом эквивалентных между собой множеств. На основании свойства транзитивности легко показать, что никакие два множества, входящие в различные классы, не могут быть эквивалентны между собой.

Поставим в соответствие каждому классу эквивалентных между собой множеств некоторый символ , который будем называть кардинальным числом или мощностью.

Таким образом, под мощностью мы понимаем то общее, что присуще всем эквивалентным между собой множествам.

Если два множества  и  не эквивалентны между собой , то мы им относим различные символы  и  , т.е. мы говорим, что эти множества неравномощны.

Принято мощность множества A обозначать значком . Следовательно, если дан класс эквивалентных между собой множеств  и этому классу множеств приписано кардинальное число , то ,….

Из всего вышеизложенного следует, что понятие мощности есть обобщение понятия количества (числа) элементов. [5, с. 12]

Список литературы:

1. Александров, А.Д. Математика: её содержание, методы и значение (том 3) [Текст] / А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев. - М.: [не указано], 2017. - 90 c.
2. Казимиров, Н. И. Введение в аксиоматическую теорию множеств [Текст] / Н.И. Казимиров. - М.: [не указано], 2016. - 954 c.
3. Колмогоров, А.Н. Математика XIX века (том 1): математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей [Текст] / А.Н. Колмогоров, А.П. Юшкевич. - М.: [не указано], 2015. - 282 c.
4. Колмогоров, А.Н. Математика XIX века (том 2): геометрия, теория аналитических функций [Текст] / А.Н. Колмогоров, А.Н. Юшкевич. - М.: [не указано], 2016. - 163 c.
5. Макаров, И.П. Дополнительные главы математического анализа [Текст]/ И.П. Макаров. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов. Просвещение, М.: 1968