МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАТРАТ АВТОЛЮБИТЕЛЯ

В современном мире автомобиль уже не предмет роскоши, а средство передвижения. Безусловно, автомобиль дает много преимуществ: ты становишься независим от общественного транспорта, от расписания электричек, поездов, самолетов. Сейчас почти каждый человек имеет собственный автомобиль. Но со временем автомобиль, как и любой механизм нуждается в техническом обслуживании и ремонте, что соответственно влечет за собой значительные затраты на содержание автотранспорта в рабочем состоянии. Очевидно, что затраты на техническое обслуживание автомобиля зависят прямо пропорционально от его пробега, марки автомобиля. А затраты на ремонт (текущий и капитальный) зависит от многих параметров: пробега, срока службы автомобиля, марки производителя, места эксплуатации.

В данной статье мы остановимся о выяснении зависимости затрат на ремонт автомобиля от его пробега на примере отечественного и зарубежного автомобиля. Хотелось бы отобразить общую тенденцию этой зависимости, но вместе с тем сгладить уклонения, связанные с возможными погрешностями статистических данных. Для решения подобных задач, как правило, используется расчетный метод наименьших квадратов [1], [3].

Данный метод базируется на получении коэффициентов для зависимости (линейной, квадратичной, логарифмической, и т.п.) таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от аппроксимирующей кривой была минимальной [2].

Основной тратой автовладельца, помимо затрат на бензин, является ремонт. Сравним стоимость ремонта автомобилей “Lada Granta” и “KIA Rio”.

Ниже в таблице 1 приведена среднестатистическая стоимость ремонта этих автомобилей.

Таблица 1.

 Траты на ремонт “Lada Granta” ”  и “KIA Rio”

Возьмем пробег автомобиля за  (тыс.км), а стоимость ремонта за  (тыс.руб), построим эти точки на графике (рисунок 1).

Рисунок 1. Траты на капитальный ремонт “Lada Granta” и “KIA Rio”

Как мы видим, зависимость трат на отечественную машину “Lada Granta” напоминает параболу, поэтому аппроксимируем статистические данные методом наименьших квадратов для квадратной зависимости. Вычислим коэффициенты по формуле:

 - коэффициенты квадратного уравнения; - количество статистических данных.

Для наших статистических данных (см. таблица 1) получаем систему:

Решаем данную систему линейных уравнений методом Крамера, округляем и получаем функцию:  .

Траты на ремонт зарубежного транспортного средства “KIA Rio” при маленьком пробеге малы, но при увеличении пробега начинают возрастать значительно быстрее, чем у отечественного аналога. Из чего можно сделать вывод, что функциональная зависимость кубическая, и описывается формулой: . Для вычисления коэффициентов воспользуемся методом наименьших квадратов, в частности формулой для кубических уравнений.

 - коэффициенты кубического уравнения; - количество статистических данных. 

Для наших данных получаем систему:   

Решаем систему линейных уравнений аналогичным образом, и получаем функцию: .

Как видим на рисунке 2, графики достаточно близко расположены по отношению к экспериментальным точкам, что свидетельствует о верности получившихся моделей.

Рисунок 2. Модель зависимости трат на ремонт машин от их пробега  “Lada Granta”, “KIA Rio”

На основе полученных результатов можно сделать вывод, что первичные затраты на “Lada Granta” превышают затраты на “KIA Rio”. Это связано с тем, что отечественный автопром проигрывает в качестве, что приводит к более частым поломкам, а соответственно и тратам. Но с увеличением пробега учащаются поломки и у “KIA Rio”. Так как запчасти на иномарки стоят в разы дороже, чем на отечественные автомобили, “KIA Rio” становится невыгодным для владельца. Поэтому, с точки зрения, как экономии, так и безопасности, оптимальным будет смена автомобиля через 5-7 лет эксплуатации.

В результате выполнения данного исследования мы получили навыки работы с методом наименьших квадратов, который имеет широкое применение в различных областях науки и техники. Вычисления производились с помощью распространенного математического пакета Mathcad, который используется для решения инженерных задач, проведения математических экспериментов.

Список литературы:

1. Агишева Д.К., Зотова С.А., Светличная В.Б., Матвеева Т.А. Методы принятия оптимальных решений. Часть 1: учебное пособие / ВПИ (филиал) ВолгГТУ. - Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011. – 155 с.
2. Давыдов А.С., Дьяконова К.С., Матвеева Т.А., Светличная В.Б. Выбор функциональной зависимости сглаживающей кривой экспериментальных данных // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-2. – С. 190-191.
3. Математика (Часть III) [Электронный ресурс]: учеб. пособие  / Д.А. Мустафина, И.В. Ребро, В.Б. Светличная, Т.А. Матвеева; ВПИ (филиал) ВолгГТУ. - Волжский: учеб. пособие, 2018 с.