МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ ДЕФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Математическое моделирование экономических и природных процессов приводит к необходимости решения уравнений, которые кроме независимых переменных и зависимых от них искомых функций, содержат также производные или дифференциалы от неизвестных функций. Такие уравнения называются дифференциальными.

Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Такими моделями являются: модель Эванса — установления уравновешенной цены на рынке одного товара; а также динамическая модель экономического роста, известная под названием «базовая модель Солоу».

В модели Эванса рассматривается рынок одного товара, время считается непрерывным. Пусть d(t), s(t), p(t) — спрос, предложение и цена соответственно этому товару на момент времени t. Допустим, что спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть d(p)=a-bp, a, b>0 — спрос с возрастанием цены падает, а s(p)=a+bp, где a, b>0 — предложение с возрастанием цены возрастает. Природным является соотношение а> 0, то есть при нулевой цене спрос превышает предложение. Рассмотрим модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара с непрерывным временем t. Если спрос  и предложение  являются линейными функциями цены p, то динамика цены описывается следующими уравнениями:

где  – цена товара в момент времени t.

Считаем, что  — предложение с ростом цены растет;  — спрос с ростом цены убывает. Кроме того, естественно считать  — при нулевой цене спрос превышает предложение.

Основное предположение модели состоит в том, что изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением:

Согласно этому предположению взаимодействие потребителей и производителей происходит таким образом, что отражающая это взаимодействие цена непрерывно приспосабливается к ситуации на рынке: в случае превышения спроса над предложением — возрастает, в противоположном случае — убывает.

Получаем следующее дифференциальное уравнение относительно цены:

Это уравнение имеет единственную равновесную точку:

Равновесная цена — абсцисса точки пересечения прямых спроса и предложения, т.е. при такой цене спрос равен предложению.

Аналогично равновесию на рынке одного товара общеэкономическое равновесие достигается в точке пересечения кривых спроса и предложения. Классическую модель рыночной экономики можно рассматривать как систему взаимосвязанных моделей, каждая из которых выражает поведение одного из трех рынков: рабочей силы, денег и товаров. Каждый рынок задается кривыми спроса и предложения и точкой равновесия. Достаточно одному из рынков выйти из состояния равновесия, как и все остальные рынки выйдут из этого состояния и потом будут стремится к некоторому новому состоянию динамического равновесия. В представлении классиков ключевые переменные: процентная ставка, заработная плата, уровень цен в стране являются гибкими и обеспечивают равновесие на обозначенных рынках.

Рассмотрим равновесие на рынке товаров. Спрос на товары (планируемые расходы) — это сумма спроса на потребительские и инвестиционные товары  . Согласно модели , причем C(r) и I(r) как функции нормы процента r убывают с ростом r. Чем больше ставка процента r, тем больше доход от сбережений, следовательно, все большая часть дохода будет сберегаться и все меньшая часть расходоваться на потребительские товары. В отношении инвестиций: чем выше r, тем выше цена использования капитала. Проекты, дающие прибыль при низких учетных ставках, при более высоких ставках становятся невыгодными и будут отвергнуты инвестором.

В классической модели предложение товаров является функцией уровня занятости, определяемого на рынке рабочей силы , где  — равновесное значение числа занятых.

Условие равновесия состоит в том, что предложение товаров  равно спросу на товары E:

В модели Кейнса спрос на товары Е определяет уровень занятости L, в отличие от классической модели, в которой реальная заработная плата, как отношение ставки заработной платы к цене продукта (w/p) , определяла число занятых.

В модели Кейнса равновесие на рынке товаров достигается при равенстве планируемого спроса и фактического предложения:

Фактический спрос на рабочую силу определяется фактически востребованным продуктом, и, следовательно, равновесие на рынке рабочей силы может быть достигнуто тогда, когда рынок товаров находится в равновесии.

Модель Солоу рассматривает экономику как единое целое (без структурных подразделений). Эта модель достаточно адекватно отображает самые важные макроэкономические аспекты процесса производства. В модели Солоу используется производственная функция Кобба—Дуглала, где труд и капитал являются субститутами. Необходимым условием равновесного состояния экономической системы выступает равенство совокупного спроса и совокупного предложения.

Модель Солоу состоит из следующих уравнений, характеризующих экономическую динамику.

1.Объем предложения на рынке благ описывается производственной функцией с постоянной отдачей от масштаба:

Yt = F(Kt, L t)

для любого положительного Z верно:

Z Yt = F (ZКt, ZLt)

Предположим, что, тогда получим:

Yt/Lt = F(Kt/Zt,1), (3)

где Yt/Lt — производительность (у); Kt/Zt — капиталовооруженность (фондовооруженность) (k).

Уравнение (3) показывает, что объем производства в расчете на одного работника является функцией капитала на одного работника.

2.В модели Солоу представлен спрос на товары, предъявляемый со стороны потребителей и инвесторов, т. е. между частным сектором без государственного заказа и чистого экспорта:

Yta= С + I, (5)

тогда it = — инвестиции на одного работника; сt = потребление на одного работника.

Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химиче

химической, биологической) не следует существование решения соответствующей математической задачи.

В настоящее время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных электронных вычислительных машин. Исследование дифференциальных уравнений часто облегчает возможность провести вычислительный эксперимент для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и послужат фундаментом для дальнейших теоретических исследований.

В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

Дифференциальные уравнения наиболее полно и качественно 

выражают математические зависимости в таких основополагающих экономических моделях как модели Солоу, Эванса, Кейнса.

Список литературы:

1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисление», Москва, 1985.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1993.
3. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1978.