ПЕРЕМЕЩЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И ЕЕ ОСНОВАНИЯ

​MOVEMENT AND DEFRAMEMENT OF SHELL ELEMENTS OF STRUCTURES AND ITS BASE

Railya Romanova

student, department "Equipment and technologies of machine-building production», Togliatti State University,

Russia, Tolyatti

Vadim Gulyaev

scientific supervisor, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Equipment and Technologies of Machine-Building Production, Togliatti State University,

Russia, Tolyatti

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются вопросы получения основных соотношений деформированного состояния оболочек, взаимодействующих по некоторым участкам лицевых поверхностей со слоями упругих деформируемых оснований. Задача решается с помощью ввода на поверхностях раздела соответствующих условий стыковки. Получена математическая модель для описания механики деформирования контактирующих элементов. Предлагаются в итоге к использованию в моделировании многослойных оболочек условия деформированного состояния элементов рассматриваемой деформированной системы.

ABSTRACT

The article deals with the issues of obtaining the basic relations of the deformed state of shells interacting in some areas of the front surfaces with layers of elastic deformable bases. The problem is solved by entering the corresponding joining conditions on the interfaces. A mathematical model has been obtained to describe the mechanics of deformation of contacting elements. As a result, the conditions of the deformed state of the elements of the considered deformed system are proposed for use in modeling multilayer shells.

Ключевые слова: деформируемые системы, тонкие оболочки, составные конструкции, сопряжение, условие равновесия, контактные задачи.

Keywords: deformable systems, thin shells, composite structures, conjugation, equilibrium condition, contact problems.

Контактные задачи имеют свою специфику, выражающуюся в том, что уже нетривиальным является вопрос выбора математических моделей для описания механики деформирования контактирующих элементов [1], отчего в значительной мере зависят результаты решения задач. Для рассматриваемого класса деформируемых систем, когда по предположению оболочка и скрепленные с ней основания являются тонкими, простейшие непротиворечивые уравнения теории контактного взаимодействия могут быть построены, если ограничиться линейными аппроксимациями векторов перемещений оболочки  и оснований  по их поперечным координатам  и  [2]. При этом допускается, что основания на своих внешних лицевых (опорных) поверхностях могут взаимодействовать с другими деформируемыми элементами конструкции. Учет деформативности (податливости) этих элементов конструкции в соответствии с [9] может быть осуществлен путем задания векторов перемещений опорных поверхностей оснований (в частном случае они могут быть равными нулю).

Материал оболочки и оснований в общем случае принимается изотропным, а напряжения и деформации в элементах деформируемой системы связаны между собой обобщенным законом Гука [3].

Предполагается, что оболочка и основания деформируются без взаимного отрыва и проскальзывания, то есть в точках сопряжения элементов компоненты их векторов перемещений разрыва не терпят.

В соответствии с принятой математической моделью кон­тактного взаимодействия оболочек с основаниями векторы упругих перемещений оболочки  и оснований  в рамках сдвиговой модели [2] представимы разложениями

Здесь , , ,  – ковариантные компоненты векторов перемещений точек срединных поверхностей оболочки  и оснований ;  – ковариантные компоненты векторов поворотов волокон, нормальных к  и  в системе осей координат недеформированных слоев оболочки и оснований. Согласно принятому предположению, будем считать, что известны векторы перемещений точек лицевых поверхностей верхних  и нижних  оснований и заданы векторами

В этом случае векторы (18) должны удовлетворять условиям

откуда устанавливается связь

Представление векторов и в виде разложений (1) и (2) соответствует применению простейшей сдвиговой модели для оболочки и оснований, на которой базируется детально разработанная к настоящему времени уточненная теория оболочек типа Тимошенко.

Компоненты деформации оболочки по этой модели с точностью  при малых перемещениях вычисляются по формулам:

Подстановка (8) в соответствующие формулы для компонентов деформаций приводит к кинематическим соотношениям в скалярной форме

Компоненты тензора деформаций оснований при малых перемещениях с точностью  могут быть записаны в виде

В (10) частные производные от векторов перемещений в силу соотношений (6), (7) и (8) определяются равенствами

Подстановка выражений (11) в формулы (10) в рамках принятых ограничений на изменение толщины оснований (пренебрегая членами, содержащими сомножители ( и )2 и ), позволяет записать кинематические соотношения для оснований в скалярной форме

Представленные соотношения (1–12) полностью определяют деформированное состояние элементов рассматриваемой деформируемой системы, в которых функциональными неизвестными являются компоненты перемещений u_i, w оболочки, а также компоненты векторов поворотов  в оболочке и основаниях.

Список литературы:

1. Gulyaev, V. & Kozlov, A. & Loginov, N. Problems of mathematical modelling of elastic boundary value in the stress-strain state of car body elements. In: IOP Conference Series, Materials Science and Engineering. 2019. Vol. 560. DOI: 10.1088/1757-899X/560/1/012143.
2. Gulyaev, V. & Kozlov, A. & Loginov, N. Technological equipment parts rough surfaces elastic-plastic strain under compression mathematical modelling. In: Overview of the International Conference on Applied Physics, Information Technologies and Engineering. Journal of Physics, Conference Series. 2019. Vol. 1399. DOI: 10.1088/1742-6596/1399/4/044054.
3. Зверева А.М., Гуляев В.А. Физическое моделирование конструкционных задач механики // Студенческий форум: электрон. научн. журн. 2020. № 23(116). URL: https://nauchforum.ru/journal/stud/116/74578 (дата обращения: 22.06.2022).