ДЕФОРМИРОВАНИЕ ОБОЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С УПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

​DEFORMATION OF STRUCTURAL SHELL ELEMENTS INTERACTING WITH ELASTIC ELEMENTS

Alexander Kirillov

student, department "Equipment and technologies of machine-building production», Togliatti State University,

Russia, Tolyatti

Vadim Gulyaev

scientific supervisor, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Equipment and Technologies of Machine-Building Production, Togliatti State University,

Russia, Tolyatti

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются вопросы получения основных соотношений линейной теории оболочек, взаимодействующих по некоторым участкам лицевых поверхностей со слоями упругих деформируемых оснований. Задача решается с помощью ввода на поверхностях раздела соответствующих условий стыковки. Получена математическая модель для описания механики деформирования контактирующих элементов. Предлагаются в итоге к использованию в моделировании многослойных оболочек условия сопряжения тел по перемещению.

ABSTRACT

The article deals with the issues of obtaining the basic relations of the linear theory of shells interacting in some areas of the front surfaces with layers of elastic deformable bases. The problem is solved by entering the corresponding joining conditions on the interfaces. A mathematical model has been obtained to describe the mechanics of deformation of contacting elements. As a result, the conditions for conjugation of bodies by displacement are proposed for use in modeling multilayer shells.

Ключевые слова: деформируемые системы, тонкие оболочки, составные конструкции, сопряжение, условие равновесия, контактные задачи.

Keywords: deformable systems, thin shells, composite structures, conjugation, equilibrium condition, contact problems.

Рассматриваемые деформируемые системы, представляющие собой тонкую оболочку, скрепленную по некоторым участкам внешних лицевых поверхностей с деформируемыми слоями оснований, относятся к классу составных конструкций.

Решение задач теории упругости для таких конструкций зачастую может быть значительно упрощено, если их разделить на отдельные элементы, вводя на поверхностях раздела реакции взаимодействия, которые определяются в процессе решения задачи из соответствующих условий стыковки. Формулировка таких задач в дифференциальной форме (в виде дифференциальных уравнений) не вызывает особых затруднений, однако при построении их приближенных решений некоторыми аналитическими или численными методами для них требуется вариационная формулировка. Такая вариационная формулировка задач сопряжения деформируемых тел, рассматриваемых с позиций контактных задач, была дана в работе [1], результаты которой приведем ниже с целью их дальнейшего использования в последующих разделах работы.

Дифференциальная постановка. Без ограничения общности изложения будем рассматривать два сопрягаемых тела с объемами , , которые ограничены поверхностями , , имеющими общую поверхность сопряжения  с известной границей.

Деформации и перемещения тел считаем малыми и для дальнейших построений недеформированные пространства ,  отнесем соответственно к параметризации () (здесь и в дальнейшем греческие индексы пробегают значения 1, 2, 3, латинские – 1, 2), введя обозначения: () – радиус-вектор точки  -го тела; ,  – ко- и контравариантные базисные векторы;  – единичные векторы нормалей к элементам  поверхностей ; ,  – ко- и контравариантные компоненты векторов  относительно базисных векторов  и .

Пусть  – вектор усилий взаимодействия, отнесенный к единице площади поверхности сопряжения  и действующий на первое тело со стороны второго;  – аналогичный вектор усилий, действующий на второе тело со стороны первого, причем согласно третьему закону Ньютона  – векторы массовых сил, отнесенные к единицам объемов ;  – векторы поверхностных сил, отнесенные к единицам площадей поверхностей  и заданные на некоторых участках ;  – векторы перемещений точек ;  – символы ковариантного дифференцирования в метриках  недеформированных пространств .

Если сопрягаемые тела под действием указанных выше сил находятся в равновесии, то возникающие в них напряжения  должны удовлетворять уравнениям равновесия:

При статических граничных условиях на :

Кинематических граничных условиях:

На участках , где заданы векторы перемещений , а также при статических условиях сопряжения рассматриваемых тел ():

записываемых в виде статических граничных условий.

В (4) вектор усилий взаимодействия  является неизвестным и для его определения к приведенным уравнениям нужно добавить условие сопряжения тел по перемещениям:

которое с не приведенными здесь уравнениями состояния и кинематическими соотношениями:

замыкает общую систему уравнений, необходимых для формулировки рассматриваемых задач в указанной постановке. Для применения к решению таких задач приближенных методов, основанных на вариационных принципах, а также их редукции к двумерным задачам, требуется формулировка соответствующих вариационных принципов и построение соответствующих вариационных формул.

Вариационная постановка. Введем в рассмотрение функционал:

представляющий собой обобщенный функционал Лагранжа [2] и отличающийся от него последними слагаемыми, учитывающими работу реактивных усилий взаимодействия  на соответствующих перемещениях.

Если предположить, что имеют место формулы Грина:

где  – удельная потенциальная энергия деформации k-го тела, выраженная через компоненты  деформации.

Тогда справедливо следующее утверждение: перемещения, согласованные с кинематическими связями (3) и удовлетворяющие условию сопряжения (6), а также напряжения, внешние усилия и реакция взаимодействия , удовлетворяющие уравнениям равновесия (1) и граничным условиям (2), (4), сообщают функционалу  стационарное значение.

Действительно, варьируя (8) по функциональным аргументам ,  и  получим

где принято во внимание, что

Внося сюда соотношение (8) и учитывая, что на поверхности сопряжения , после интегрирования по частям с применением формулы Гаусса-Остроградского находим:

Из (11) сразу же следует, что  при выполнении упомянутых соотношений (1), (1), (4) и (5). Обратно в силу независимости вариаций перемещений внутри и на границах тела [3], а также реакции взаимодействия тела на S из вариационного уравнения  следуют уравнения (1), (2), (5), (5), необходимые для дифференциальной постановки рассматриваемых задач. Для применения приближенных методов решения этих задач условие стационарности  доставляет, кроме вариационных уравнений метода Бубнова-Галеркина для дифференциальных уравнений равновесия, также и вариационное уравнение:

для удовлетворения условию сопряжения тел по перемещениям.

Список литературы:

1. Gulyaev, V. & Kozlov, A. & Loginov, N. Problems of mathematical modelling of elastic boundary value in the stress-strain state of car body elements. In: IOP Conference Series, Materials Science and Engineering. 2019. Vol. 560. DOI: 10.1088/1757-899X/560/1/012143.
2. Gulyaev, V. & Kozlov, A. & Loginov, N. Technological equipment parts rough surfaces elastic-plastic strain under compression mathematical modelling. In: Overview of the International Conference on Applied Physics, Information Technologies and Engineering. Journal of Physics, Conference Series. 2019. Vol. 1399. DOI: 10.1088/1742-6596/1399/4/044054.
3. Зверева А.М., Гуляев В.А. Физическое моделирование конструкционных задач механики // Студенческий форум: электрон. научн. журн. 2020. № 23(116). URL: https://nauchforum.ru/journal/stud/116/74578 (дата обращения: 22.06.2022).