СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В РЕГИОНАХ РОССИИ

Политические и экономические изменения, произошедшие в России за последние тридцать лет, начиная с перестройки, в свою очередь привели к существенным демографическим изменениям во всех регионах нашей страны. Для объективной оценки демографических изменений в России необходимо воспользоваться статистическими данными, полученными с сайта [5], и соответствующими методами математической статистики.

В качестве математического аппарата нашего исследования мы используем оценку параметров модели линейного тренда. Этот математический аппарат лежит на стыке статистической теории временных рядов [1, 2] и линейного регрессионного анализа [3]. Технически задача сводится к оценке параметров следующей модели (формулы)

,                                                                                  (1)

где    τ - дискретный отсчет времени (в нашем случае это годы),

N(τ) - численность населения на момент τ,

b₀ и b₁ - параметры, которые подлежат оценке,

ε - неизбежная погрешность формулы.

Повышенный интерес к модели линейного тренда наблюдался в конце прошлого века, когда научная общественность обратила свое внимание на климатические изменения последней четверти двадцатого столетия [4, 6]. Естественно, нас будет интересовать лишь значение параметра  , который при условии годовых отсчетов времени характеризует среднегодовой рост (или убыль) численности населения (N(τ)). Однако мы вынуждены вычислять и оценку , которая необходима для проверки статистической надежности оценки  (см. ниже).

Метод наименьших квадратов (МНК) дает следующие формулы для вычисления оценок искомых параметров:

,                                                                                (2)

,    ,   .

Здесь I - количество лет в исследуемом временном интервале,

 - среднее значение численности населения за интервал времени I,

 можно вычислять не только как среднее значение по номерам годов, но и как середину временного интервала. Вместо модели (1) можно использовать и эквивалентную модель

                                                                          (3)

В модели (3) значение оценки  остается прежним (как и в модели (1)), т.к. формула (2) при переходе к модели (3) не меняется, а оценка  равна  (см. выше).

Надежность полученной оценки , в свою очередь, можно оценить проверкой статистической гипотезы

Для проверки этой гипотезы согласно теории МНК и регрессионного анализа используется следующая t-статистика

,                                                                                          (4)

где  есть оценка дисперсии e которая при выборе модели (1) равна

.

В предположении нормального распределенных погрешностей тренда ε и при верной гипотезе H статистика t имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы  Технически проверка гипотезы H сводится к проверке следующего неравенства

,

где  есть критическое значение или правая граница %-ой доверительной области для статистики t. Если это неравенство выполнено, то гипотеза H отвергается и тренд считается вполне надежным (статистически значимым). В противном случае тренд считается ненадежным (статистически незначимым). При вычислении критического значения  уровень значимости  делится пополам потому, что критерий Стьюдента является двусторонним. Далее значение t-статистики будет приводится только по абсолютной величине.

При анализе демографической динамики регионов России временной интервал составлял 32 года (1990 – 2021 гг.), т.е. . Тогда при  критическое значение равно , а при  имеем .

В табл. 1 представлены результаты анализа по регионам России с прирастающей численностью населения.

Таблица 1

Регионы России с приростом численности населения

Из табл. 3 видно, что за исключением Севастополя все тренды статистически значимы. Очевидно, что перечисленные здесь регионы можно считать наиболее благополучными. Далее в табл. 2 мы приводим результаты анализа по регионам с убывающей численностью населения.

Таблица 2

Регионы России с убывающей численностью населения

Первое, что следует отметить, из результатов, представленных в табл. 4, так это то, что все без исключения линейные тренды имеют высокую статистическую значимость.

В результате проделанного исследования мы получили объективную картину демографической динамики регионов России. При этом мы выяснили, где происходит наиболее существенный приток населения, а где численность населения интенсивно убывает. Однако дальнейшие более глубокие выводы лежат уже за пределами математического моделирования, в сфере таких наук, как экономика, социология и политология.

Список литературы:

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 755 с.
2. Справочник по прикладной статистике. Том 2 / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, перев с англ. под ред. С.А. Айвазяна, Ю.Н. Тюрина. М.: Финансы и статистика, 1990. 526 с.
3. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир,1980. 456 с.
4. Пичугин Ю.А. Оценка статистической значимости и пространственной неоднородности линейных трендов приземной температуры воздуха // Известия Русского географического общества. 2003. Том 135. Вып. 6. С. 78-84.
5. Russian Demography Data (1990-2017) | Kaggle URL: https://www.kaggle.com/datasets/dwdkills/russian-demography (дата обращения: 13.02.2023)
6. Woodward W.A., Gray H.L. Global warming and the problem of testing for trends in time series data // J. Climate. 1993. Vol. 6. P. 935-962.