ПОСТРОЕНИЕ ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКОГО УЧАСТКА ТРАЕКТОРИИ МЕТОДОМ ЛАМБЕРТА ОТ ЗЕМЛИ ДО САТУРНА

​CONSTRUCTION OF A HELIOCENTRIC SECTION OF THE TRAJECTORY LAMBERT'S METHOD FROM EARTH TO SATURN

Nadezhda Rusanova

4th year student of the direction "Applied Mathematics and Computer Science", Russian University of Friendship of Peoples,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В статье анализируется спутник Сатурна Титан и особенности достижения соответствующей орбиты. Рассматривается один из методов решения задачи Ламберта. Рассчитывается траекторию межпланетного перелёта, максимизирующую массу полезной нагрузки для исследования Сатурна. Определяется оптимальную дату старта и время перелёта, а также затраты топлива и длительности включения двигателей для конечной массы 1000 кг, и двигательной установкой космического аппарата с тягой 200 Н и удельным импульсом 320 с. Строиться и анализируется траектория перелёта.

ABSTRACT

The article analyzes Saturn's satellite Titan and the features of achieving the corresponding orbit. One of the methods for solving the Lambert problem is considered. The trajectory of the interplanetary flight is calculated, maximizing the payload mass for Saturn exploration. The optimal launch date and flight time are determined, as well as fuel costs and engine turn-on duration for a final mass of 1000 kg, and the propulsion system of a spacecraft with a thrust of 200 N and a specific impulse of 320 s. The flight trajectory is being constructed and analyzed.

Ключевые слова: траектория полета, перелёт космического аппарата, орбиты.

Keywords: flight path, spacecraft flight, orbits.

Цель:

Цель моего исследования – построение гелицентрической траектории методом Ламберта от орбиты Земли до орбиты Сатурна.  Сатурн – планета-гигант, по размеру лишь немного уступающая Юпитеру и обладающая большим сходством с ним. Впервые наблюдая Сатурн через телескоп в 1609—1610 годах, Галилео Галилей заметил, что Сатурн выглядит не как единое небесное тело, а как три тела, почти касающихся друг друга, и высказал предположение, что это два крупных спутника Сатурна. Рассмотрим характеристики Сатурна:

Таблица 1.

Характеристики Сатурна

* Периоды вращения вокруг своей оси и обращения вокруг Сатурна совпадают, и спутник повёрнут к планете всегда одной и той же стороной.

Метод

Для построения траектории используется метод грависфер нулевой протяжённости или метод конических сечений.

Рассмотрим подробно решение задачи Ламберта. Задача Ламберта формулируется следующим образом: определить орбиту КА между точками пространства с радиус-векторами  в моменты времени , соответственно, для заданных времени перелета , направлении перелета и числа полных витков вокруг притягивающего центра.

На сегодняшний день было разработано несколько десятков методов решения этой задачи. Каждый из этих методов имеет собственные преимущества и недостатки. Например, некоторые методы гарантированно выдают решение либо только в случае одновиткового перелета, либо при значениях угловой дальности достаточно далекой от значений 0 и π, либо только для определенных типов орбит. Такое разнообразие методов связано с тем, что искали универсальный метод решения, у которого не должно было быть недостатков. В своей работе я рассмотрю общий метод решения задачи Ламберта. Сформулируем теорему Ламберта (1761 год)[6]:

«Время перелета  между заданными точками  есть функция большой полуоси , суммы расстояний  от притягивающего центра до этих точек и длины хорды , их соединяющей: »

Этим уравнением можно воспользоваться, чтобы определить орбиту. Действительно, задавшись временем полета и точками , можно попытаться решить данное уравнение относительно большой полуоси и восстановить оставшиеся орбитальные элементы. Вместо большой полуоси можно использовать и другие переменные, которые позволяют однозначно определить орбиту. Вообще, уравнения вида , где  — неизвестная переменная. За исключением тривиальных случаев, эти уравнения решаются итерационными методами.

Решение задачи Ламберта можно свести к нахождению параметров Кеплеровой орбиты.

Где - угол между  и , - истинная аномалия:

Пусть - неизвестная переменная. Это наиболее разумный выбор, так как итерации будут по ней, а следовательно мы можем быть уверены в том, что необходимое нам будет в промежутке . Если брать другую переменную в качестве неизвестного параметра, то решение будет менее прикидываемо. Получим:

Выбор типа орбиты: эллиптическая, гиперболическая, параболическая. Однако, если проанализировать, можно понять, что мы получаем бесконечное количество эллипсов и парабол, но гипербола будет одна. . Из предположения, что мы движемся по параболе и   не задано можно вычислить . Если  то это эллипс,  – гипербола, иначе парабола. Пусть мы имеем эллипс. Тогда

Определяя  так, чтобы выполнялось равенство, при известном

Таким образом, находим наш эллипс. Если мы ищем решение в плоскости, то нам этого достаточно, так как начальные и конечные орбиты лежат в одной плоскости. Зная p, e,  (модель движение, орбиты), получим , . Если анализировать гелиоцентрический участок  ,

Однако, если орбиты не круговые и компланарные, и плоскость орбиты перелёта сильно отличается от начальной и конечной орбиты, то перелёт по такой траектории выйдет очень затратным. Поэтому зная , найдём проекции скорости в системе координат . Для это будем использовать единичный вектор . Перейдем от  к . Для этого нужно знать ,  и . После чего мы получим такой единичный вектор:

С его помощью мы можем доопределить наклонение орбиты и долготу восходящего узла: . Для долготы восходящего узла есть условие, если , то:       

Остаётся найти только аргумент перицентра. А его положение можно определить с помощью вектора Лапласа в плоскости орбиты, вместе с фокальным параметром и эксцентриситетом, если они нам не известны (другое начальное условие):

Угол между вектором в направлении восходящего узла и вектором Лапласа будет искомым аргументом перицентра.

Для расчёта траектории потребуется знать даты старта и синодический период, размер грависферы Земли, Сатурна и Титана. Также рассчитывается количество топлива и время работы двигателя. Это позволит проанализировать техническую возможность спроектированной мисси.

Далее представлена таблица с датами отлёта, длительностью полёта и датой прибытия для трёх участков полёта.

Таблица 2

Даты и время перелёта

Из полученных данных мы имеем представление о длительности перелёта. Так же мы знаем время начала и завершение орбитальных манёвров.

Рисунок 1. Траектории перелета с орбиты Земли до орбиты Сатурна

Меньшая окружность, это орбита Земли. Большая окружность, это орбита Сатурна. Точка в центре окружностей – это Солнце. Дуга, это траектория перелёта КА. Точки на окружности, это начальное и конечное положение КА. Далее представлена таблица со скоростью на орбите, отлетной скоростью и гиперболическим избытком:

Таблица 3

Скорости и гиперболические избытки

Зная гиперболический избыток скорости, рассчитаем необходимое количество топлива и время работы двигателя. Для этого используются формула для расчёта топлива:

Где  – это конечная масса КА,  – удельный импульс,  – ускорение свободного падения. Чтобы посчитать время работы двигателя:

Где  – массовый расход топлива,  – тяга двигательной установки. Ниже представлена таблица с необходимым количеством топлива для совершения перелёта и время работы двигателя.

Таблица 4

Топливо и время работы двигателя

На основе полученных данных можно выбрать подходящие ракет-носители для данной миссии. Например, «Ангара» или «Союз-У».  Характеристики этих ракет, можно найти в книги «Средства выведения космических аппаратов» В.Н. Кобелева и А.Г. Милованова.

Выводы

На основе полученных данных, можно заключить, что данная миссия Возможна. У нас есть техническая возможность в виде ракеты-носителя. Дата старта, время перелёта нам известны, как и необходимые импульсы. Как и траектория перелёта. В отличие от расчёта перелёта с использованием гомановской траектории, траектория, построенная методом Ламберта, учитывает, что орбиты Земли и Сатурна не круговые и некомпланарные. Что делает полученные расчёты более точными.

Если говорить в целом о возможности или невозможности перелёта к Титану на сегодняшний день, то я считаю, что это возможно. Поскольку уже существуют подобные миссии.

Список литературы:

1. R. A. Jacobson. Planetary Satellite Mean Orbital Parameters. NASA/JPL (15 августа 2009).
2. Солнечная Система (Сурдин В.Г. - 2017)
3. Солнечная система. Иллюстрированный путеводитель (Добрыня Ю.М. – 2015)
4. Баллистико-навигационное обеспечение полетов автоматических космических аппаратов к телам Солнечной системы (А. Г. Тучина – 2018)
5. Теория межпланетных перелетов (Гаруздян Г.А. - 1992)
6. Battin R.H. Astronautical guidance. New York: McGraw Hill Book Company, 1966. 448 p.
7. Лекции по курсу «Проектирование межпланетных перелётов космических аппаратов» (Иванюхин А.В. – 2022г.)
8. Средства выведения космических аппаратов (В.Н. Кобелев, А.Г. Милованов – 2009)
9. Механика космического полета. Часть 2. Межорбитальные перелеты (Петухов В.Г. - 2005)
10. Проектирование межпланетных перелётов космических аппаратов. От Земли до Титана. (Русанова Н.А. – 2022)