ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЖИМОВ ПОВЕДЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

SIMULATION MODELING OF THE BEHAVIOR MODES OF A TWO-DIMENSIONAL LINEAR DYNAMICAL SYSTEM

Olga Babushkina

student, Department of Applied mathematics and Computer science, Siberian State Industrial University,

 Russia, Novokuznetsk

Sergey Kalashnikov

Scientific Supervisor, Doctor of Sciences, professor, Siberian State Industrial University,

Russia, Novokuznetsk

АННОТАЦИЯ

Цель статьи заключается в изучении колебательных режимов двумерной линейной динамической системы. В работе проведен анализ качественного изменения фазового портрета системы при варьировании её параметров. Для решения поставленной задачи использован конечно-разностный метод на основе конечно-разностной схемы Кранка-Николсона. Результатом написания статьи является графическое представление возникающих в системе колебательных процессов разного рода.

ABSTRACT

The purpose of the article is to study the vibrational modes of a two-dimensional linear dynamical system. The paper analyzes the qualitative changes in the phase portrait of the system when its parameters are varied. To solve this problem, we used a finite-difference method based on the Krank-Nicholson finite-difference scheme. The result of writing the article is a graphical representation of the emerging oscillatory processes of various kinds in the system.

Ключевые слова: имитационное моделирование, двумерная линейная динамическая система, колебательные режимы, задача Коши, фазовый портрет системы, разностная схема Кранка-Николсона, гармонический осциллятор.

Keywords: simulation modeling, two-dimensional linear dynamical system, oscillatory modes, Cauchy problem, phase portrait of the system, difference scheme of Crank-Nicholson, harmonic oscillator.

Имитационная модель содержит элементы непрерывного и дискретного действия, поэтому применяется для исследования динамических систем.

Понятие линейной динамической системы на уровне физических представлений обычно опирается на так называемый принцип суперпозиции, заключающийся в том, что общий выходной эффект от совокупности входных воздействий на систему может быть получен суммированием выходных величин от каждого воздействия в отдельности [1].

Динамическая система – любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Таким математическим объектом является система автономных дифференциальных уравнений.

Ответ на вопрос о том, какие режимы поведения могут устанавливаться в данной системе, можно получить из фазового портрета системы – совокупности всех ее траекторий, изображенных в пространстве фазовых переменных (фазовом пространстве). Среди этих траекторий имеется некоторое число основных, которые и определяют качественные свойства системы. К ним относятся, прежде всего, точки равновесия, отвечающие стационарным режимам системы, и замкнутые траектории (предельные циклы), отвечающие режимам периодических колебаний. Будет ли режим устойчив или нет, можно судить по поведению соседних траекторий: устойчивое равновесие или цикл притягивает все близкие траектории, неустойчивое отталкивает хотя бы некоторые из них [2].

В соответствии с теоремой Коши о единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, динамическая система имеет единственное решение при условии, что в начальный момент времени система не находится в неподвижной точке. Из теоремы Коши вытекает важное следствие, согласно которому фазовые траектории в регулярных точках не пересекаются. Невозможность самопересечения траекторий и существование инвариантных множеств в значительной мере определяют структуру фазового портрета [3].

Двумерные динамические системы также называют динамическими системами на плоскости или динамическими системами с двумя степенями свободы. Под динамической системой на плоскости будем понимать автономную динамическую систему первого порядка

                                                                                (1)

С начальными условиями  Траекториями системы (интегральными кривыми) будут  то есть решения задачи (1). Интегральные кривые динамической системы не пересекаются. Каждому состоянию системы соответствует изображающая точка  на фазовой плоскости Любая изображающая точка соответствует состоянию системы. Множество изображающих точек на плоскости  называется фазовой траекторией системы: Обычно на фазовой траектории стрелочкой указывают направление движения изображающей точки из начального состояния, то есть показывают направление эволюции (динамику) системы [4].

Рассмотрим сосредоточенную систему, совершающую малые колебания в окрестности состояния равновесия и имеющую настолько незначительные потери, что ими можно пренебречь на достаточно больших временных отрезках наблюдения. Получим простейшую модель колебательной системы – гармонический осциллятор.

Он описывается уравнением

                                                                              (2)

где  – отклонение наблюдаемой величины от состояния равновесия (приведенное к безразмерному виду).

Это уравнение представляет собой гармоническую функцию времени:

,

где  и  – соответственно амплитуда и начальная фаза колебаний, определяемые из начальных условий. Таких условий должно быть два:  и Тогда  и т.е. состояние системы определяется двумя величинами:  и , а также размерностью фазового пространства .

Можно сказать, что гармонический осциллятор – универсальная модель колебаний малой амплитуды в системах без потерь [5].

В статье исследуются режимы поведения двумерной линейной динамической системы с учетом действующих помех, которая представлена в виде задачи Коши для двух обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих начальным условиям  и :

                                                                      (3)

где  – выходные параметры системы;  – параметры системы;  – помехи.

Уравнения в задаче Коши (3) решаются конечно-разностным методом с помощью конечно-разностной схемы Кранка-Николсона.

Составим первое конечно-разностное уравнение для задачи Коши (3):

,

.

Аналогично второе конечно-разностное уравнение имеет вид:

Таким образом, получаем следующую систему линейных уравнений относительно  и :

                      (4)

где корни уравнений  и  находятся явным методом с помощью метода Крамера. Главный определитель системы имеет вид:

.

Вспомогательные определители системы имеют вид:

.

Используя формулы Крамера, найдем корни уравнения  и :

Характеристическое уравнение для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4) является уравнением второй степени относительно  и имеет вид:

Далее покажем применение данного уравнения для исследования режимов работы динамической системы.

Решение задачи Коши (1) осуществлено в табличном процессоре MS Excel. Проверка выполнена при значениях параметров , которые соответствуют режиму работы гармонического осциллятора с учетом действующих помех (рис. 1,2).

Решение имеет вид .

Рисунок 1. Режим работы гармонического осциллятора

Рисунок 2. Фазовый портрет работы гармонического осциллятора

В качестве примера продемонстрируем режим затухающих колебаний. Для иллюстрации этого режима подобраны следующие значения параметров:  (рис. 3,4).

Рисунок 3. Режим затухающих колебаний

Рисунок 4.  Фазовый портрет режима затухающих колебаний

Режимы работы исследуемой динамической системы определяются корнями характеристического уравнения

.                                                       (5)

Найдем дискриминант этого уравнения и выпишем его корни:

В зависимости от значения дискриминанта  уравнения возможны следующие случаи:

1. Если корни уравнения (5) комплексные вида  (при дискриминанте ), то исследуемая система выходит в тот или иной колебательный режим.
2. Если корни уравнения (5) действительные (при дискриминанте
   
   ), то в системе реализуется либо экспоненциальный рост выходных параметров  и , либо их экспоненциальный спад, т.е. в рассматриваемой динамической системе колебания отсутствуют.

Важно подчеркнуть, что при  колебания затухают, при  амплитуда колебаний увеличивается, при  амплитуда колебаний постоянна. Параметр  определяет частоту колебаний, если они наблюдаются в системе.

Если то либо колебания с ростом амплитуды, либо экспоненциальный рост выходных параметров . Если же  , то либо затухающие колебания, либо экспоненциальный спад выходных параметров  динамической системы.

Подводя итоги, стоит отметить, что анализ фазовых портретов сложных колебательных процессов позволяет делать выводы о топологической структуре хаотических предельных множеств.

Таким образом, изучены колебательные режимы в двумерной линейной динамической системе на основе графического представления возникающих в системе колебательных процессов разного рода. С использованием алгоритма на основе конечно-разностной схемы Кранка-Николсона и табличного процессора Microsoft Excel решена поставленная задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Список литературы:

1. Математическое и имитационное моделирование: Учебное пособие / Составитель А.А. Мицель. – Юрга: Изд-во ЮТИ (филиал) ТПУ, 2016. – 108с.
2. Двумерные динамические системы в приложениях. Составители: Касаткина Ю.А., Митрякова Т.М. Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2016. – 47 с.
3. «Элементы теории бифуркаций. Часть 1. Динамические системы»: учебно-методическое пособие / Ю. А. Хазова – ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского». ― Симферополь, 2019. ― 55 с.
4. Цымбал В.П., Мочалов С.П., Калашников С.Н. Модели и механизмы самоорганизации в технике и технологиях в 3xч. Ч. I. Термодинамический подход к самоорганизации: Учеб. пособие. Под редакцией В.П. Цымбала/СибГИУ – Новокузнецк, 2004. – 180 с.
5. Детерминистские модели динамических систем : учеб. пособие / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова. — Ульяновск : УлГТУ, 2006. — 78 c.