МАТЕМАТИКА В УПРАВЛЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ РИСКАМИ

​MATHEMATICS IN ECONOMIC RISK MANAGEMENT

Artem Mardanshin

student, Department of Economics and Enterprise Management, Almetyevsk State Technological University "Higher School of Economics",

Russia, Almetyevsk

Elvira Melnikova

scientific supervisor, PhD in Pedagogical Sciences, senior lecturer, Almetyevsk State Technological University "Higher School of Economics",

Russia, Almetyevsk

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются современные математические методы, применяемые для анализа, измерения и управления экономическими рисками. Освещаются теоретические основы статистического анализа, меры риска (Value-at-Risk, Conditional Value-at-Risk), методы корреляционно-регрессионного анализа и оптимизация инвестиционного портфеля. Приводятся примеры практического применения моделей в инвестиционной и банковской сферах.

ABSTRACT

This article discusses modern mathematical methods used to analyze, measure, and manage economic risks. The theoretical foundations of statistical analysis, risk measures (Value-at-Risk, Conditional Value-at-Risk), methods of correlation and regression analysis and optimization of the investment portfolio are highlighted. Examples of practical application of models in the investment and banking sectors are given.

Ключевые слова: экономические риски, математическое моделирование, стандартное отклонение, Value-at-Risk, CVaR, корреляция, оптимизация портфеля.

Keywords: economic risks, mathematical modeling, standard deviation, Value-at-Risk, CVaR, correlation, portfolio optimization.

Экономическая деятельность всегда сопряжена с неопределённостью. Риск представляет собой вероятность отклонения фактических результатов от ожидаемых, включая возможность потерь. Математика помогает перевести эти вероятности в конкретные численные оценки, что особенно важно при принятии управленческих и инвестиционных решений. Методы статистики позволяют измерить разброс результатов, в то время как оптимизационные подходы помогают минимизировать последствия неблагоприятных исходов.

Первичную оценку риска дают статистические показатели, такие как дисперсия и стандартное отклонение. Дисперсия измеряет средний квадрат отклонения значений от среднего, а стандартное отклонение, как его корень, показывает, насколько сильно доходности активов колеблются относительно их среднего значения:

,

 где   отдельные наблюдения доходности,  – среднее значение доходности,  – количество наблюдений.

Например, если за 5 месяцев доходности составляли 6%, 9%, 7%, 10% и 8%, то среднее — 8%, а стандартное отклонение равно приблизительно 1.41%. Это значит, что доходность чаще всего находилась в пределах 6.59–9.41%.

Но одного только знания волатильности недостаточно. Чтобы сравнить активы с разной доходностью, используют коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению. Он показывает, сколько риска приходится на одну единицу доходности:

Например, при стандартном отклонении 1.41% и средней доходности 8%, коэффициент вариации составит около 17.6%, что считается умеренным значением.

Когда важно знать возможные потери при неблагоприятных сценариях, применяют показатель Value-at-Risk (VaR). Он показывает максимальный убыток с заданной вероятностью. Расчёт производится по формуле:

,

где — квантиль нормального распределения (например, 1.645 при 95% доверии), — стандартное отклонение, — период в днях.

Пример: если дневная волатильность составляет 2%, то за 5 дней при уровне доверия 95% возможный убыток составит:

Для инвестиций в 1 млн рублей это составит 73,600 рублей.

Однако этот показатель не говорит, насколько серьёзными могут быть потери, если они всё же окажутся больше. Для этого рассчитывают Conditional Value-at-Risk (CVaR), который даёт среднюю величину потерь в наихудших 5% случаев. Он является более строгим инструментом оценки риска и особенно важен для стресс-тестирования.

При формировании портфеля важно учитывать не только риск каждого актива, но и взаимосвязь между ними. Коэффициент корреляции позволяет определить, движутся ли активы в одном направлении. Если корреляция низкая или отрицательная, то колебания одного актива могут компенсироваться другим, снижая общий риск.

Регрессионный анализ помогает понять, насколько доходность одного актива зависит от другого. Например, коэффициент  в модели CAPM показывает, как изменяется доходность акции по сравнению с рынком:

Если , значит, акция колеблется в 1.5 раза сильнее, чем рынок в целом.

Исторические данные не всегда отражают поведение активов в условиях кризиса. Поэтому дополнительно используют сценарный анализ и стресс-тестирование. Сценарный анализ предполагает рассмотрение нескольких возможных ситуаций — как благоприятных, так и неблагоприятных. Стресс-тесты, напротив, фокусируются на крайне неблагоприятных событиях, например, резком падении рынков, росте процентных ставок или девальвации валюты. Это позволяет заранее спрогнозировать уязвимые места и подготовить защитные меры.

Завершающий этап — оптимизация портфеля. Цель — при заданной доходности минимизировать риск или, наоборот, при заданном уровне риска добиться максимальной доходности. Это реализуется с учётом дисперсий активов и их ковариаций. Формула дисперсии портфеля из двух активов:

Например, портфель из двух активов с долями 50/50 и стандартными отклонениями 10% и 15% при корреляции 0.3 даёт общий риск:

Математические методы играют важную роль в управлении экономическими рисками. Они делают неопределённость измеримой и позволяют принимать решения, основанные на расчётах, а не интуиции. Знание этих методов помогает будущим экономистам и аналитикам понимать поведение рынков, управлять инвестициями и выстраивать надёжные финансовые стратегии.

Список литературы:

1. Investopedia. Value at Risk (VaR) [электронный ресурс]. — Режим доступа: https://www.investopedia.com/terms/v/var.asp (дата обращения: 24.03.2025).
2. Investopedia. Conditional Value at Risk (CVaR) [электронный ресурс]. — Режим доступа: https://www.investopedia.com/terms/c/conditional_value_at_risk.asp (дата обращения: 24.03.2025).
3. Investopedia. Correlation [электронный ресурс]. — Режим доступа: https://www.investopedia.com/terms/c/correlation.asp (дата обращения: 24.03.2025).