УПРАВЛЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА В УСЛОВИЯХ РЕАЛИЗАЦИИ ПОПУЛЯРНОЙ ЛЕКЦИИ О ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ЗНАЧИМОСТИ ЕГО В ОКРУЖАЮЩЕМ МИРЕ

АННОТАЦИЯ

Статья посвящена разработке научно-популярной лекции о векторном пространстве и его отражении в окружающем мире, ориентированной на управление самостоятельной учебной деятельностью учащихся 9 класса в процессе обучения математике и физике.

Ключевые слова: научно-популярная лекция; вектор; векторное пространство.

В 2020 году в связи с переходом общеобразовательных организаций на дистанционное обучение большую популярность набирают научно-популярные лекции. Научно-популярная (публичная) лекция представляет изложение научных истин для аудитории, которая не подготовлена к их восприятию [1]. Актуальность и значимость темы популярной лекции, рассматриваемой в статье, обусловлены тем, что понятия «вектор» и «векторное пространство» являются фундаментальными не только в математике и физике, они встречаются во многих других науках и окружают нас в повседневной жизни.

Научно-популярная лекция «Модель векторного пространства и ее отражение в окружающем мире»

1 Из истории векторного пространства

«Родителями» векторного пространства считаются ирландский учёный XIX в. Уильям Гамильтон, который впервые ввёл термины «вектор», «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение», а также описал различные операции с векторами, и его немецкий коллега и современник Герман Грассман. Оба учёных одновременно вели исследования в одном и том же направлении, но с разных точек зрения. Объединить эти два подхода в рамках общей теории, включающей в себя и векторное исчисление, удалось британскому математику Уильям Клиффорду. Однако история векторного исчисления прослеживается задолго до его выделения в самостоятельный раздел математики. Так, в законе Архимеда присутствует величина, характеризующаяся и численным значением, и направлением. Более того, векторный характер сил, скоростей и перемещений в пространстве был знаком ученым античного времени, а «правило параллелограмма» сложения векторов было известно еще в IV в. д. н. э. математикам школы Аристотеля.

2 Понятие вектора. Операции над векторами

Под вектором мы привыкли понимать величину, которая характеризуется своим численным значением и направлением. Так, в геометрии вектор представляет собой направленный отрезок, у которого различают начало и конец, в физике примерами векторных величин могут служить скорость, ускорение, сила и др. Однако в более общем смысле под вектором понимается элемент некоторого векторного пространства, и он не обязательно представляет собой направленный отрезок. О векторном пространстве и его элементах поговорим позже, а пока остановимся на знакомых нам геометрических понятиях: вектора как направленного отрезка; его длины; нулевого вектора; коллинеарных векторов; сонаправленных и противоположно направленных векторов; равных и противоположных векторов; суммы и разности векторов; умножения вектора на число.

3 Векторное пространство

Понятие векторного пространства. Векторное (линейное) пространство – это некое множество (набор) элементов V, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число, т.е. любым двум векторам x и y поставлен в соответствие вектор x+y, называемый их суммой, и любому вектору x и любому числу λ из поля чисел P поставлен в соответствие вектор λx, называемый произведением вектора x на скаляр λ. Операции сложения векторов и умножения на скаляр обладают следующими свойствами:

• x+y=y+x, где x, y ∈ V;
• (x+y)+z=y+(x+z), где x, y, z ∈ V;
• существует такой элемент (нулевой) 0 ∈ V, что х+0=х, для любого вектора х ∈ V;
• для всякого вектора х ∈ V существует обратный (–х) ∈ V, т.е. такой, что х+(–х)=0;
• (λ∙μ)х=λ(μ∙х), где x ∈ V; λ, μ ∈ P;
• (λ+μ)х=λ∙х+μ∙х, где x ∈ V; λ, μ ∈ P;
• λ(х+у)=λ∙х+λ∙у, где x, y ∈ V; λ ∈ P;
• 1∙х=х, где x ∈ V.

Если P = R, то линейное пространство называется действительным, если Р = С, то – комплексным.

Рассмотрим множество V={0} с заданными операциями 0+0=0 и λ0=0. Все 8 аксиом для указанных операций выполняются. Очевидно, что данное множество является векторным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.

Постарайтесь самостоятельно ответить на вопрос: Является ли поле действительных чисел действительным векторным пространством (V=R, P=R)?

Итак, мы выяснили, что векторами могут называться и числа, если они являются элементами векторного пространства. При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в алгебре объекты, например, упорядоченные наборы действительных чисел, матрицы, решения однородной системы линейных уравнений и др.

Модель векторного пространства. Частным случаем векторного пространства является трёхмерное евклидово пространство, которое является геометрической моделью материального мира. Это пространство называется трёхмерным, так как оно имеет три однородных измерения: длину, ширину, высоту, и описывается тремя единичными ортогональными (взаимно перпендикулярными) векторами.

В геометрии каждая точка трёхмерного пространства описывается как набор из трёх величин – координат. Положение точки задаётся относительно трёх взаимно перпендикулярных координатных осей, пересекающихся в начале координат, упорядоченной тройкой чисел (рисунок 1).

Рисунок 1. Точка в трехмерном пространстве

Каждое из этих чисел задаёт расстояние от начала отсчёта до точки, измеренное вдоль соответствующей оси, и равное расстоянию от точки до плоскости, образованной двумя другими осями.

Отражение векторного пространства в окружающем мире. Безусловно, векторы являются мощным инструментом математики и физики, но помимо этого они встречаются и в других науках, а также постоянно окружают нас в жизни.

Нередко великими учеными высказывалась мысль, что химическая реакция является вектором. Основой этого утверждения служит следующее правило: «Любой химической реакции отвечает симметричное уравнение прямой в пространстве с текущими координатами в виде количеств веществ (молей), масс или объемов». Любую прямую в пространстве нетрудно выразить векторами, но поскольку прямая химической реакции проходит через начало системы координат, то можно принять, что вектор прямой химической реакции находится на самой прямой и называется радиус-вектором [1].

В биологии вектором называют организм, переносящий паразита от одного организма-хозяина к другому, а в генетике вектором называют молекулу нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемую в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.

Векторы являются одним из наиболее простых, понятных, и удобных способов описания процессов, касающиеся экономики. Например, некоторая кондитерская фабрика должна выпустить в одну смену 50 упаковок конфет, 30 упаковок пирожных и 20 тортов, тогда производственную программу данной фабрики можно представить в виде вектора, где всё, что должна выпустить фабрика – это трехмерный вектор.

Векторы, помимо точных наук, встречаются нам каждый день. Так, например, вывески с указателями при посещении торговых центров помогают нам быстро найти тот или иной отдел и сэкономить время. И, даже в простейших предписывающих знаках дорожного движения, мы видим указательные стрелки движения.

Данная лекция была апробирована и эффективность ее доказана с использованием U-критерия Манна Уитни.

Список литературы:

1. Мартынов В. И. Вектор химической реакции // Химия. – 2007. – №13. [электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: https://him.1sept.ru/article.php?ID=200701308 (дата обращения 29.01.2020).
2. Уткин А. А. Геометрическое моделирование окружающего мира : учебное пособие / А. А. Уткин. – Орск : Издательство Орского гуманитарно-технологического института (филиала) ОГУ, 2013. – 215 с.