МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

METHODOLOGICAL ASPECTS OF LEARNING TO SOLVE PROBLEMS FOR THE CONSTRUCTION OF PRIMARY SCHOOL STUDENTS

Natalya Kazaeva

student, department of mathematics and methods of teaching mathematics, Mordovia State Pedagogical University named after M.E. Evsevyev,

Russia, Saransk

Kochetova Irina

scientific supervisor, candidate of pedagogical sciences, associate professor of the department of mathematics and methods of teaching mathematics, Mordovia State Pedagogical University named after M.E. Evseviev,

Russia, Saransk

АННОТАЦИЯ

Статья посвящена проблеме обучения решению задач на построение учащихся основной школы. В ней раскрыты проблемные аспекты методики обучения решению задач данного типа, описана общая схема и этапы решения задач на построение в школьном курсе математики.

ABSTRACT

The article is devoted to the problem of learning to solve problems on the basis of primary school students. It reveals the problematic aspects of teaching methods for solving problems of this type, describes the general scheme and stages of solving problems on the construction in the school course of mathematics.

Ключевые слова: обучение математике, геометрические задачи, задачи на построение, этапы решения задач на построение.

Keywords: teaching mathematics, geometric problems, construction problems, stages of solving construction problems.

В математическом образовании учащихся различных образовательных организаций задачи на построение занимают одну из ведущих позиций. Они способствуют развитию логического мышления посредством представления той или иной геометрической фигуры и умения мысленно оперировать ее элементами [2].

Традиционно задачи на построение изучаются в курсе геометрии основной школы. Их прикладная направленность выступает мощным мотивационным фактором обучения. Строительные проекты, архитектурные решения, конструирование технических моделей и механизмов основаны на геометрических построениях.

История изучения задач на построение начинается в Древней Греции, где разные математические задачи решались геометрически. К построениям предъявлялись высокие требования точности, простоты и экономичности. Наиболее ценными считались построения, в которых применялись только окружность и прямая. Важное место занимали задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

Важное место задачам на построение отведено в исследованиях многих отечественных и зарубежных математиков-методистов. Например, Д. Пойа первую главу книги «Математическое открытие» полностью посвятил геометрическим построениям и различным методам решения задач на построение. Математик утверждает, что «место, занимаемое геометрическими построениями в программе обучения, полностью оправданно, так как они лучше всего подходят для освоения путей решения задач» [4].

Анализ учебно-методической литературы [1, 3], опыт учителей-практиков, а также собственный опыт работы в школе в рамках педагогической практики и занятий со школьниками в качестве репетитора позволяют сделать вывод о том, что построение чертежа к решению задачи на плоскости и в пространстве вызывают у учащихся старших классов затруднения. Выделим ряд проблемных аспектов в процессе обучения учащихся решению задач на построение:

1. Количество часов, отведённое задачам на построение, недостаточно для усвоения. Так как задачи на построение не включены в ОГЭ и ЕГЭ, то их важность теряется. Приоритетной целью обучения решению задачам на построение становится практическое применение. При этом не учитывая, что с их помощью можно развивать логическое математическое мышление.

2. При обучении решению задач на построение недостаточно уделяется внимание поиску различных методов решения.

3. Так как, в школьных учебниках геометрии этапы решения задач на построение не выделены, обучающиеся имеют слабое представление о них.

Учитывая сказанное, возникает противоречие между недостаточной разработанностью теоретико-методологических основ обучения решению задач на построение и необходимостью овладения учащимися умением решать их.

Выделяют следующие ошибки, допускаемые учащимися при решении задач на построение: различные точки рассматриваются как совпадающие и наоборот, т. е. совпадающие точки рассматриваются как различные; точка берётся там, где невозможно; предположенная точка пересечения на самом деле отсутствует; ломаная принимается за прямую; прямая принимается за ломаную.

В IV в. до н. э. в академии Платона разработана общая схема решения задач на построение, включающая 4 этапа. Она используется в настоящее время.

На этапе анализа необходимо выбрать вариант решения задачи, выстроить алгоритм из элементарных построений для искомой фигуры. Результатом данного этапа является вспомогательный чертёж искомой фигуры с найденными зависимостями между её элементами. Этап анализа будет эффективным и результативным, если выполняются условия:

– практически можно выполнить все построения, указанные на этапе;

– найденный вариант решения задачи должен быть наипростейшим;

– анализ должен обеспечивать всевозможные решения данной задачи.

На этапе анализа целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:

– при возникновении трудности нахождения зависимостей в ряду данных и искомых элементов, можно воспользоваться вспомогательными фигурами: например, провести луч вместо отрезка, параллельную или перпендикулярную прямую, к данной прямой и т.д.;

– целесообразно построить на вспомогательном чертеже сумму или разность отрезков или углов, если они присутствуют среди данных элементов;

– вспомнить теоремы, связанные с условием задачи, а так же, все элементарные построения и основные задачи на построения.

Этап построения включает в себя элементарные построения или основные задачи на построение, необходимые для построения искомой фигуры. На этом этапе выполняются графические построения с помощью циркуля и линейки.

На этапе доказательства с помощью известных теорем доказывается, что искомая фигура выполняет все условия задачи.

Этап исследования отвечает на вопросы: всегда ли задача имеет решение, сколько решений имеет задача.

Усвоение учащимися всех этапов общей схемы важно при решении арифметических задач, задач на составление уравнений и других типов.

Рассмотрим этапы решения задачи на построение на конкретном примере.

Задача. Постройте треугольник по высоте, боковой стороне и разности углов при основании.

Дано:

 – высота,

 – боковая сторона,

 – разность углов при основании.

Рисунок 1. Построение треугольника по известным данным

Анализ:

Пусть – искомый:

 – основание,

 – высота ,

 – боковая сторона .

Теперь нужно отметить на рисунке заданный угол . Для этого от большего угла при основании  надо отнять меньший угол (рис. 1). Считаем, что . Тогда, если , то  и есть угол .

Отметим условия, которым должны удовлетворять данные элементы:

– так как  – катет, а  – гипотенуза , то  (1);

– каковы бы ни были и , их разность, есть острый угол, т.е. (2).

Найдём способ решения задачи. Ответим на вопрос: можно ли сразу по данным элементам построить искомый треугольник – нет. Но может быть, можно построить какую-либо часть искомой фигуры? По рисунку 1 находим, что в прямоугольном , катет  и гипотенуза  являются данными. Поэтому этот треугольник можно построить. Тем самым определится  . Зная , можно к  построить . В результате построим искомую фигуру. План построения найден.

Выполним построения. Будем записывать шаги построения, используя номера элементарных построений (рис. 2).

Рисунок 2. Применение элементарных построений при решении задачи

Построение:

1. Э.11. Строим прямоугольный  по гипотенузе  и катету  = h.

2. Э.4. Строим .

3. Э.6. Проводим  так, что .

4. Э.4. Строим .

5. Э.4. Строим .

Полученные треугольники  и  – искомые.

Доказательство: (рис. 2)

1. В каждом из этих треугольников высота , опущенная на основание  или , равна отрезку h по построению данному.

2. В каждом из этих треугольников боковая сторона  равна данному отрезку  по построению.

3. Рассмотрим разность углов при основании  или . В  большим углом является . Тогда  .

В  большим углом является  , поэтому находим разность  и доказываем аналогично ее равенство .

Исследование:

Установим, при каких условиях можно выполнить указанные пять шагов построения. Очевидно, что первые три шага при условиях (1) и (2) выполнить можно всегда. А вот последние два шага нуждаются в дополнительном исследовании. Каждый из них состоит из двух построений: построение угла, равного указанному (соответственно  и ), и построения точки пересечения полученного луча с прямой . Построение угла, равного данному, всегда возможно, а вот нахождение точки пересечения полученного луча с прямой нуждается в исследовании.

Если луч  проходит внутри угла , то четвёртый шаг всегда выполним. Если  проходит вне указанного угла (рис. 2), то возможны случаи:

1. Луч  проходит правее так, что , т.е. , или 180^о. В этом случае луч  пройдёт вне , поэтому  построить нельзя.

2. Если  проходит правее , так, что , то  пройдет внутри , тогда  будет тупоугольным.

3. Если же  совпадет с , то  совпадает с . Тогда получаем в качестве решения прямоугольный треугольник.

Аналогично исследуем пятый шаг. Если луч  проходит внутри , то построить  можно. Если же  совпадает с  или проходит вне , то , поэтому  не пересечет  слева от , следовательно, построить  нельзя.

Итак, видим, что при разных соотношениях между углами  и  задача может не иметь решения, иметь одно решение и иметь два решения.

Задача решена.

Список литературы:

1. Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразовательных организаций / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. – Москва: Просвещение, 2014. – 383 с.
2. Коновалова, В. С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления / В. С. Коновалова, З. В. Шилова // Познание процессов обучения физике. – 2008. – №9. – С. 59-69.
3. Погорелов, А. В. Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразовательных организаций / А. В. Погорелов. – Москва: Просвещение, 2014. – 240 с.
4. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. М.: изд-во «Наука», 1971. – 448 с.