МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  ИССЛЕДОВАНИЕ  ЗАВИСИМОСТИ  МЕЖДУ  ДЛИНОЙ  РЕКИ  И  ПЛОЩАДЬЮ  ЕГО  БАССЕЙНА  (НА  ПРИМЕРАХ  РЕК  БАШКОРТОСТАНА)

Ишбулатов  Ильяс

Класс  11  «Е»  БРГИ  №  1  имени  Рами  Гарипова,  РФ,  г.  Уфа

Габдуллина  Лилия  Талгатовна

научный  руководитель,  педагог  высшей  категории,  учитель  математики  БРГИ  №  1  имени  Рами  Гарипова,  РФ,  г.  Уфа

Актуальность  работы  объясняется  интеграцией  теоретических  знаний  и  практических  навыков  в  едином  процессе  деятельности  учебно-исследовательского  характера.  В  исследовательской  работе  применены  программные  средства  для  представления  и  обработки  информации.  Данные  средства  позволили  эффективно  решать  задачи  на  построение,  моделирование  и  сравнение  объектов  исследования,  повысили  наглядность.  В  исследовательской  работе  реализованы  межпредметные  связи  математики  и  географии. 

В  рамках  выполнения  данной  исследовательской  работы  выяснялась  математическая  зависимость  длины  реки  от  площади  ее  бассейна.

Цели  исследования:  исследовать  и  установить  зависимость  между  длиной  реки  и  площадью  его  бассейна  (на  примерах  рек  Башкортостана) 

Задачи:

·     вывод  формулы  для  вычисления  длины  реки  в  зависимости  от  площади  бассейна  в  идеальном  случае;

·     изучение  реальной  зависимости  длины  реки  в  зависимости  от  площади  бассейна  статистическими  и  математическими  методами  с  использованием  информационно-компьютерных  технологий  на  примере  рек  Башкортостана;

·     выявить  и  обосновать  закономерности,  определить  применимость  результатов  в  теории  и  практике. 

Объект  исследования  —  зависимость  длины  реки  от  площади  ее  бассейна. 

Предмет  исследования  —  математическое  исследование  зависимости  между  длиной  реки  и  площадью  его  бассейна  на  примерах  рек  Башкортостана.

  Были  применены  следующие  методы  исследования:  теоретический  анализ  литературы  в  аспекте  изучаемой  проблемы,  математический  анализ,  методы  графического  моделирования,  качественная  и  количественная  обработка  данных.

Решены  следующие  задачи:

Задача  №  1:  Если  бассейн  реки  был  кругом  с  центром  в  середине  прямой  реки,  то,  как  выражается  зависимость  длины  реки  от  площади  ее  бассейна?

Решение.  Если  бы  бассейн  реки  был  кругом  с  центром  в  середине  прямой  реки,  то  радиус  этого  круга  равен  половине  длины  прямой  реки.  Тогда 

S=ПR²,  R=ℓ/2,  S=Пℓ²/4,

ℓ²=4S/П,  ℓ=√4/П  ∙  √S,

ℓ=c∙S  ¹/_2,  где  c=√4/П≈1,  12,  выполняется  соотношение  l=cS^1/2  (подсказываемое  и  размерностями  этих  величин). 

Ответ:  ℓ=c∙S  ¹/_2,  где  c=√4/П≈1,  12,  выполняется  соотношение  ℓ  =  cS^1/2. 

Проведенное  графическое  исследование  искомой  зависимости  на  основе  статистических  данных  по  20  рекам  Башкортостана  выявило:

1.  Отмеченные  точки  выстраиваются  около  графика  степенной  функции.

2.  График  этой  функции  лежит  выше  графика  функции  ℓ  =1,12∙S  ¹/_2,. 

Это  позволило  сделать  следующее  заключение:  зависимость  длины  реки  от  площади  выражается  формулой  вида  ℓ  ≈  cS^α.

2     Определение  показателя  степени  в  формуле  зависимости. 

Задача  №  2.  Выразить  из  формулы  ℓ  ≈  cS^d  показатель  степени  d. 

Решение.  Т.  к.  обе  части  равенства  положительные  величины,  то  прологарифмируем: 

ℓn  ℓ  ≈  ℓn  c  ∙  S  ^d  ,

ℓn  ℓ  ≈  ℓn  c  +  d  ℓn  S,

d  ℓn  S  ≈  ℓn  ℓ  -  ℓn  c,

d≈  (ℓn  ℓ∕c  )/  ℓn  S.  (1)

Далее  используя  (1)  и  вычисляя  значение  показателя  по  20  рекам  Башкортостана  с  помощью  табличного  редактора  Excel,  получили,  что  показатель  степени  в  выборке  составляет  0,62. 

Согласно  американским  данным,  статистика  (по  большому  числу  рек:  и  больших,  и  малых,  и  равнинных,  и  горных)  приводит  к  среднему  показателю  0,58.  Данным  исследованием  занималсят  американский  ученый  А.Hack,  поэтому  данный  показатель  называют  “параметром  Hack  ’a  длин  рек”.  Больший  чем  0,5  показатель  Хэка  α  объясняется  фрактальной  извилистостью  реки,  делающей  её  более  длинной,  чем  диаметр  её  бассейна.  Показатель  α  универсален  и  имеет  именно  такое  же  значение  при  других  исследованиях. 

Исследование,  проведенное  на  анализе  статистических  данных  рек  Башкортостана,  подтверждает  универсальность  показателя  Хэка  для  длин  рек.  Полученные  результаты  расширяют  представления  о  математическом  понимании  природы  и  могут  стать  основанием  новых  математических  исследований  природных  явлений.

Список  литературы:

1. Арнольд  В.И.  Математическое  понимание  природы:  Очерки  удивительных  физических  явлений  и  их  понимания  математиками  (с  рисунками  автора).  3-е  изд.,  стереотип.  М.:  МЦНМО,  2011.  —  144  с.
2. [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL:  http://gendocs.ru/v2330/?cc=7
3. [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL:  http://ru.wikipedia.org