О  КОЛИЧЕСТВЕ  ОСОБЫХ  ЧИСЕЛ

Высоцкая  Дарья

класс  11«Д»,  лицей  БНТУ,  Республика  Беларусь,  г.  Минск

Цыбулько  Оксана  Евгеньевна

научный  руководитель,  учитель  высшей  категории,  преподаватель  математики,  лицей  БНТУ,  Республика  Беларусь,  г.  Минск

Свойства  чисел,  известные  сегодня,  по  большей  части  были  открыты  путем  наблюдения  и  открыты  задолго  до  того,  как  их  истинность  была  подтверждена  строгими  доказательствами.

Леонард  Эйлер  (1707—1783) 

Рассмотрим  свойство  n-значных  чисел,  которые  являются  особыми.  Особым  назовем  число,  которое  является  точной  степенью  суммы  своих  цифр.  Тогда  особое  число  можно  описать  уравнением  вида  ,  где    неравные  между  собой  цифры,  для  . 

I.  Для  нахождения  количества  особых  трёхзначных  чисел  решим  уравнение  вида:  ,  где    неравные  между  собой  цифры,  принадлежащие  промежутку 

Рассмотрим  наименьшее  и  наибольшее  трехзначное  число,  состоящее  из  различных  цифр.  Тогда    и  .  Т.  к.  a,  b,  c,  —  различные  цифры  тогда  .

Заметим,  что  куб  чисел  5,6,9  будет  иметь  в  разряде  единиц  соответственно  5,6,9,  а,  значит,  сумма  цифр  точного  куба  будет  больше  5,6,9  соответственно.  Тогда  возможное  значение  .

Непосредственной  проверкой  убеждаемся  что,  куб  8  это  единственное  решение.  Из  чего  можно  сделать  вывод,  что  уравнение    имеет  единственное  решение:  .

Вывод:  Найдено  единственное  трехзначное  число,  которое  является  особым:  512.

II.  Для  нахождения  количества  четырёхзначных  особых  чисел  решим  уравнение  вида:  ,  где    неравные  между  собой  цифры,  принадлежащие  промежутку  .

II.1.  Рассмотрим  наименьшее  и  наибольшее  четырёхзначное  число,  состоящее  из  различных  цифр.  Тогда 

Исключаем  11  и  20,  т.  к.  точный  куб  чисел  11  и  20  будет  содержать  одинаковые  цифры. 

II.2.1.  Пусть  .  A=2n,  .  Раскладываем  число    на  простые  множители:.  Тогда 

II.2.2  Итоговая  система  будет  выглядеть  так:  . 

II.3.  1.  Пусть  .  A=2n+1,  .  Раскладываем  число    на  простые  множители:.  Тогда 

II.3.2  Итоговая  система  будет  выглядеть  так:    

Цифру  определяем  возведением  в  куб  последней  цифры,  полученного  двузначного  числа  из  промежутка  от  12  до  21.

Решив  систему,  было  получено  два  решения  уравнения  :. 

Вывод:  Найдено  два  четырехзначных  числа,  которые  являются  особыми:4913,  5832  .

III.  Для  нахождения  количества  особых  чисел  среди  пятизначных  решим  уравнение  вида:  ,  где    неравные  между  собой  цифры,  принадлежащие  промежутку  .

III.1.Рассмотрим  наименьшее  и  наибольшее  пятизначное  число,  которые  состоят  из  различных  цифр.  Тогда  .  Исключаем  30,  т.  к.  точный  куб  числа  30  будет  содержать  одинаковые  цифры.

Цифру    получаем  возведением  последней  цифры  двухзначного  числа  в  куб.

III.2.Для  чётных  чисел  из  этого  промежутка  от  22  до  35  применим  следующий  алгоритм: 

III.2.1.  Пусть  ,  A=2n,    и    находим  промежуток,  которому  принадлежит  сумма  подкоренного  выражения(A).  Оцениваем  a. 

III.2.2.  Раскладываем  A  на  простые  множители:    Так  как  это  алгоритм  для  четных  чисел,  то  сумма  цифр  подкоренного  выражения  должна  быть  кратна  8.

III.2.3. 

III.2.4.

III.2.5.

III.3.Для  нечётных  чисел  из  этого  промежутка  от  22  до  35  применим  следующий  алгоритм:  Шю3ю1юПусть  б  Ф=2т+1б    и  ю  Находим  промежуток,  которому  принадлежит  сумма  подкоренного  выражения(A).  Оцениваем  a. 

III.3.2.  Раскладываем  число    на  простые  множители:.  Тогда 

Решив  систему,  было  получено  единственное  решения  уравнения  :  .

Вывод:  Найдено  одно  пятизначное  число,  которое  является  особым:  19683.

IV.В  работе  было  показано,  что  уравнение  вида,гденеравные  между  собой,  решений  не  имеет.  Показано,  что  максимальная  сумма  цифр,  стоящих  под  корнем  будет  меньше  промежутка,  которому  принадлежит  сумма  цифр. 

Вывод:  Среди  шести-,семи-,восьми-,девяти-,  десятизначных  чисел,  не  найдено  чисел,  которые  являются  особыми. 

V.  Для  нахождения  количества  особых  чисел  решим  уравнения  вида:,  где    неравные  между  собой  цифры  при    .  Для  решения  такого  уравнения  будем  действовать  по  следующему  алгоритму: 

V.1.  Находим  промежуток,  которому  принадлежит  сумма  цифр  подкоренного  выражения.  Оцениваем  значение  суммы,  и,  исходя  из  этой  оценки,  оцениваем  .  .

V.2.  Пусть  определенное  двузначное  число  из  полученного  промежутка:.  Раскладываем  это  число  на  простые  множители:.  Тогда 

Заметим,  что  если  A=2n,  ,  то  будет  выполняться  .  Следовательно,  четные  A  будем  проверять  кратностью  на    и  .

V.3.  Итоговая  система  будет  выглядеть  так: 

Заметим,  что  цифру  можно  определить  возведением  в  степень  n  последней  цифры,  полученного  числа  из  промежутка 

Вывод:  Были  найдены  решения  только  для  n=4  -  это  числа  2401  и  390625,  которые  являются  особыми.

VI.Обобщение.

Рассмотрим  особые  числа,  в  которых  цифры  повторяются.  Для  этого  решим  уравнения  вида,  где    цифры,  которые  могут  быть  равны  между  собой,  .  Для  решения  такого  уравнения  будем  действовать  по  приведенному  в  пункте  V  алгоритму.

Вывод:  Были  найдены  решения  для  n=,  которые  приведены  в  работе.

Выводы:

При  решении  уравнений  вида:  и  ,  содержащих  нечетное  количество  различных  цифр  в  числе  было  показано,  что  будет  не  более  одного  решения,  а,  значит,  существует  только  одно  трехзначное  и  одно  пятизначное  натуральные  числа,  которые  являются  особыми.  При  решении  уравнений  вида,содержащих  четное  количество  различных  цифр  в  числе  было  получено  два  решение,  а,  значит,  существует  только  два  четырехзначных  числа,  которые  являются  особыми.  А  так  же  в  работе  было  показано,  что  при  увеличении  количества  цифр  в  уравнения  вида    где    неравные  между  собой  цифры,  решений  иметь  не  будут,  а,  значит,  среди  натуральных  чисел  с  количеством  цифр  больше  пяти  нет  особых  чисел.

При  решении  уравнения  вида  ,  где    —  различные  цифры,  было  показано,  что  уравнение  имеет  решение  только  для  n=4.  Таким  образом,  количество  особых  чисел,  состоящих  из  различных  цифр  счетно. 

При  исследовании  решений  уравнения  вида    при    и  чисел  ,  состоящих  из  пяти  и  более  цифр,  было  замечено,  что  решения  будут  только,  если  в  особом  числе  две  и  более  равные  цифры.